Ejercicios de derivadas trigonométricas inversas resueltos

Estos ejercicios de derivadas de funciones trigonométricas inversas empiezan con las fórmulas básicas, después usan la regla de la cadena, la regla del producto y un logaritmo, y terminan con dos ejercicios que se simplifican de forma sorprendente y una recta tangente. Intenta cada uno primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.

Las fórmulas que necesitas:

Cada fórmula sale de la derivación implícita. Consulta la derivada de arcsen x, la derivada de arctan x y la derivada de arcsec x para ver las demostraciones completas.

Ejercicios

Fórmulas básicas

1. y = 3\arctan x - 2\arcsin x
2. y = \arctan(3x)
3. y = \arccos(2x)

Regla de la cadena

4. y = \arcsin(x^2)
5. y = \arctan\!\left(\sqrt{x}\right)
6. y = \arctan(e^x)
7. y = \operatorname{arcsec}(3x) para x > \frac{1}{3}

Con otras reglas

8. y = x\arctan x
9. y = \ln(\arctan x) para x > 0
10. y = \arcsin x + \sqrt{1 - x^2}

Simplifica y aplica

11. y = \arctan x + \arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right) para x > 0
12. Halla la recta tangente a y = \arctan x en x = 1.

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Usa la tabla para cada término:

2. Con u = 3x, u' = 3 y u^2 = 9x^2:

3. Con u = 2x, u' = 2 y u^2 = 4x^2. Mantén el signo menos del arcocoseno:

4. Con u = x^2, u' = 2x y u^2 = x^4:

5. Con u = \sqrt{x}, u' = \frac{1}{2\sqrt{x}} y u^2 = x:

6. Con u = e^x, u' = e^x y u^2 = e^{2x}:

7. Con u = 3x > 1, |u| = 3x y u' = 3:

8. Usa la regla del producto:

9. Usa (\ln u)' = \frac{u'}{u} con u = \arctan x:

10. La derivada de \sqrt{1 - x^2} es \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}. Suma las dos partes:

Como 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x), esto se simplifica a \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} para -1 < x < 1.

11. Para el segundo término, u = \frac{1}{x} y u' = -\frac{1}{x^2}:

Así que y' = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 0. La función es constante para x > 0. En x = 1 vale \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}, así que \arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} para todo x > 0.

12. El punto es \arctan 1 = \frac{\pi}{4}. La pendiente es \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}:

Errores comunes en estos ejercicios

• Elevar al cuadrado solo x y no toda la función interior. En el ejercicio 2 el denominador es 1 + (3x)^2 = 1 + 9x^2, no 1 + 3x^2.
• Olvidar u' en el numerador. \frac{d}{dx}\arcsin(x^2) necesita el 2x en el numerador.
• Confundir \arcsin x con \frac{1}{\sin x}. \arcsin x es la función inversa, y \frac{1}{\sin x} es \csc x. Sus derivadas son completamente distintas.
• Olvidar el signo menos del arcocoseno. El ejercicio 3 tiene respuesta negativa porque (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la lección de derivadas trigonométricas inversas y la lección de derivadas de funciones inversas. Para repasar primero las funciones trigonométricas normales, usa los ejercicios de derivadas trigonométricas.