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Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques

Dérivée de arctan x : formule, démonstration et exemples

La dérivée de arctan x est 1/(1 + x²). Démonstration à partir de tan y = x, exemples composés comme arctan(2x) et arctan(x²), et courbe.

Dérivées des fonctions trigonométriques réciproques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}
Dérivée
\dfrac{1}{1 + x^2} pour tout réel x
Forme composée
\dfrac{d}{dx}\arctan u = \dfrac{u'}{1 + u^2}
Domaine de définition de arctan x
tous les réels
Ensemble image de arctan x
\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
Version intégrale
\int \frac{1}{1 + x^2}\,dx = \arctan x + C
Sur cette page
  1. Courbe de arctan x et de sa dérivée
  2. Démonstration de la dérivée de arctan x
  3. Version composée : dérivée de arctan(u)
  4. Exemples corrigés
  5. Erreurs fréquentes

La dérivée de \arctan x est \dfrac{1}{1 + x^2}. Contrairement à arcsin et arccos, il n'y a ni racine carrée ni restriction de domaine : la formule est valable pour tout nombre réel.

\frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

Courbe de arctan x et de sa dérivée

Courbe de y = arctan x et de sa dérivée y = 1/(1 + x²)
La fonction arctangente monte le plus vite à l'origine, avec une pente de 1, puis s'aplatit vers ses asymptotes horizontales y = \pm\frac{\pi}{2}.

La dérivée est une courbe en cloche toujours positive, donc \arctan x est toujours croissante. Comme la dérivée tend vers 0 aux deux extrémités, la courbe s'aplatit vers \pm\frac{\pi}{2}.

Démonstration de la dérivée de arctan x

Posons y = \arctan x, donc \tan y = x avec -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}. On dérive les deux membres par dérivation implicite, en utilisant la dérivée de tan x :

\sec^2 y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y}

L'identité \sec^2 y = 1 + \tan^2 y permet de revenir à x :

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}

Cette fois, aucun choix de signe n'est nécessaire, puisque 1 + x^2 est toujours positif.

Version composée : dérivée de arctan(u)

Avec la règle de dérivation en chaîne :

\frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1 + u^2}
Fonction Intérieur u Dérivée
\arctan(2x) 2x \frac{2}{1 + 4x^2}
\arctan(x^2) x^2 \frac{2x}{1 + x^4}
\arctan(e^x) e^x \frac{e^x}{1 + e^{2x}}
\arctan(\sqrt{x}) \sqrt{x} \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}
\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right) \frac{x}{a} \frac{a}{a^2 + x^2}

La dernière ligne donne l'intégrale classique \int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C.

Exemples corrigés

Exemple 1 : arctan de 1/x. Pour x \ne 0,

\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{-1}{x^2 + 1}

C'est l'opposé de la dérivée de arctan, donc \arctan x + \arctan\frac{1}{x} est constante de chaque côté de 0. Elle vaut \frac{\pi}{2} pour x > 0 et -\frac{\pi}{2} pour x < 0.

Exemple 2 : règle du produit. Pour f(x) = x\arctan x :

f'(x) = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2}

Exemple 3 : une tangente. En x = 1, \arctan 1 = \frac{\pi}{4} et la pente vaut \frac{1}{2}. La tangente est y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}(x - 1).

Erreurs fréquentes

  1. Écrire \sec^2 x. C'est la dérivée de \tan x, pas celle de \arctan x.
  2. Écrire \frac{1}{1 + x}. Le x est au carré. Vérification : en x = 1, la pente doit valoir \frac{1}{2}.
  3. Oublier d'élever tout l'intérieur au carré. \arctan(3x) donne 1 + 9x^2, et non 1 + 3x^2.
  4. Confondre avec \frac{1}{\tan x} = \cot x. \tan^{-1} x désigne la fonction réciproque.

Lue à l'envers, cette dérivée donne l'intégrale de 1/(1 + x²). L'intégrale de arctan x elle-même se calcule par intégration par parties. Voir aussi la fonction arctangente et les exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques.

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Questions fréquentes

Quelle est la dérivée de arctan x ?
La dérivée de \arctan x (aussi notée \tan^{-1} x) est \frac{1}{1 + x^2}.

Quelle est la dérivée de arctan(2x) ?
Par la règle de dérivation en chaîne, c'est \frac{2}{1 + (2x)^2} = \frac{2}{1 + 4x^2}.

Quelle est la dérivée de arctan(x²) ?
La dérivée de l'intérieur est 2x, donc la réponse est \frac{2x}{1 + x^4}.

Quelle est l'intégrale de 1/(1 + x²) ?
C'est \arctan x + C. C'est la dérivée de \arctan x lue à l'envers.

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