Integral de 1/(1+x²): fórmula, pasos y ejemplos
La integral de 1/(1+x²) es arctan x + C. Descubre por qué con un cambio a tangente, la versión 1/(a²+x²), una gráfica y ejemplos resueltos.
Integrales con trigonométricas inversas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- \arctan x + C
- Forma general
- \displaystyle\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C
- Método
- Cambio x = \tan\theta, o reconocer la derivada de arctan
- De 0 a 1
- \dfrac{\pi}{4}
- En toda la recta
- \pi
En esta página
La integral de \dfrac{1}{1+x^2} es \arctan x + C. Es una de las pocas integrales que conviene reconocer a primera vista, porque convierte una función racional sencilla en un ángulo.
La versión más general, para cualquier constante a > 0, es
Gráfica de 1/(1+x²) y su antiderivada
La curva \frac{1}{1+x^2} es positiva en todas partes, así que su antiderivada siempre es creciente. Además se aplana rápido, y por eso \arctan x se acerca a las rectas horizontales y = \pm\frac{\pi}{2}.
Cómo integrar 1/(1+x²) paso a paso
Basta con reconocer la derivada de arctan x. Si quieres ver de dónde sale el resultado, haz el cambio x = \tan\theta.
- Sea x = \tan\theta, de modo que dx = \sec^2\theta\,d\theta.
- Usa la identidad 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta: \int \frac{\sec^2\theta}{1+\tan^2\theta}\,d\theta = \int \frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta}\,d\theta = \int 1\,d\theta = \theta + C
- Vuelve a x. Como x = \tan\theta, tenemos \theta = \arctan x.
Para \frac{1}{a^2+x^2}, saca factor común a^2 y haz el cambio u = \frac{x}{a}, dx = a\,du:
Es la misma idea que la sustitución trigonométrica, en su forma más sencilla.
Comprobación derivando
Con a = 1 se recupera \frac{1}{1+x^2}.
Integrales definidas
| Integral | Valor |
|---|---|
| \int_0^1 \frac{dx}{1+x^2} | \frac{\pi}{4} \approx 0.785 |
| \int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+x^2} | \frac{\pi}{2} |
| \int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2} | \frac{\pi}{3} |
| \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} | \pi |
La última es una integral impropia. Converge aunque el intervalo sea infinito, porque \frac{1}{1+x^2} decrece como \frac{1}{x^2}.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una constante distinta de 1. \displaystyle\int \frac{dx}{9 + x^2}. Aquí a = 3:
Ejemplo 2: un coeficiente en x². \displaystyle\int \frac{dx}{1 + 4x^2}. Sea u = 2x, du = 2\,dx:
Ejemplo 3: completar el cuadrado. \displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}. Escribe x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 y usa a = 2 con u = x + 1:
Ejemplo 4: separar el numerador. \displaystyle\int \frac{x + 3}{x^2 + 1}\,dx. Sepárala en dos integrales conocidas:
La primera parte se trata en la página de la integral de x/(x²+1).
Errores comunes
- Escribir \ln(1 + x^2). Esa es la antiderivada de \frac{2x}{1+x^2}, no de \frac{1}{1+x^2}. Sin una x arriba no hay du para un cambio de variable logarítmico.
- Olvidar el \frac{1}{a}. \int \frac{dx}{4+x^2} es \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}, no \arctan\frac{x}{2}. Deriva tu resultado para detectarlo.
- Confundirla con \frac{1}{1-x^2}. Un signo menos lo cambia todo. \frac{1}{1-x^2} necesita fracciones parciales y da logaritmos; consulta la integral de 1/(x²−1).
- Usar grados. \arctan 1 = \frac{\pi}{4}, no 45. En cálculo siempre se usan radianes.
Para la función inversa en sí, consulta la página de la arcotangente. Para integrar \arctan x (en lugar de obtenerla como resultado), consulta la integral de arctan x.
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