Derivada de log x: base 10 y base b, con ejemplos
La derivada de log₁₀ x es 1/(x ln 10), y la de log_b x es 1/(x ln b). Demostración con el cambio de base, ejemplos con la regla de la cadena y gráfica.
Derivadas exponenciales y logarítmicas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada de log₁₀ x
- \dfrac{1}{x\ln 10} \approx \dfrac{0.4343}{x}
- Base general
- \dfrac{d}{dx}\log_b x = \dfrac{1}{x\ln b}
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\log_b u = \dfrac{u'}{u\ln b}
- Cambio de base
- \log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}
- Dominio
- x > 0
En esta página
La derivada de \log_{10} x es \dfrac{1}{x\ln 10}. Para un logaritmo de cualquier base b:
Es la derivada de ln x, \frac{1}{x}, dividida entre la constante \ln b.
¿Qué logaritmo es "log x"?
La notación depende del contexto:
- En las calculadoras, en química y en la mayoría de los cursos de secundaria, \log x significa \log_{10} x.
- En muchos libros de cálculo, en matemáticas superiores y en la mayoría de los lenguajes de programación, \log x significa \ln x.
- En informática, \log x suele significar \log_2 x.
Si no estás seguro, mira las soluciones: un resultado con \ln 10 indica base 10.
Demostración con la fórmula del cambio de base
La fórmula del cambio de base convierte cualquier logaritmo en un logaritmo natural:
Como \frac{1}{\ln b} es una constante, la regla del múltiplo constante da
Para la base 10, \frac{1}{\ln 10} \approx 0.4343. Así que un logaritmo en base 10 crece aproximadamente al 43\% del ritmo del logaritmo natural.
Gráfica de log₁₀ x y de su derivada
Derivadas para las bases más comunes
| Función | Derivada | Aproximación |
|---|---|---|
| \ln x | \frac{1}{x} | \frac{1}{x} |
| \log_{10} x | \frac{1}{x\ln 10} | \frac{0.4343}{x} |
| \log_2 x | \frac{1}{x\ln 2} | \frac{1.4427}{x} |
| \log_3 x | \frac{1}{x\ln 3} | \frac{0.9102}{x} |
Versión con la regla de la cadena y ejemplos
Ejemplo 1. \frac{d}{dx}\log_{10}(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 10}.
Ejemplo 2. \frac{d}{dx}\log_2(3x) = \frac{3}{3x\ln 2} = \frac{1}{x\ln 2}. El 3 se simplifica, igual que en la derivada de ln(2x).
Ejemplo 3: regla del producto. Para f(x) = x\log_{10} x,
Ejemplo 4: decibelios. El nivel sonoro es L = 10\log_{10}\frac{I}{I_0}. Entonces \frac{dL}{dI} = \frac{10}{I\ln 10}, así que cada unidad extra de intensidad importa menos a medida que I crece.
Inversa de aˣ
\log_b x es la inversa de b^x, cuya derivada es b^x\ln b (consulta la derivada de 2ˣ y aˣ). Una lleva \ln b en el numerador y la otra en el denominador, como predice la regla de la función inversa.
Errores comunes
- Escribir \frac{1}{x} para la base 10. Eso solo es correcto para el logaritmo natural.
- Poner \log 10 en lugar de \ln 10. El factor siempre es un logaritmo natural. (\log_{10} 10 = 1, lo que lo anularía por error).
- Escribir \frac{\ln 10}{x}. El \ln b va en el denominador.
Para más, consulta las funciones logarítmicas y los ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
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