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Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Ableitung von log x: Basis 10 und Basis b, mit Beispielen

Die Ableitung von log₁₀ x ist 1/(x ln 10), die von log_b x ist 1/(x ln b). Mit Beweis über den Basiswechsel, Beispielen zur Kettenregel und einem Graphen.

Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10}
Ableitung von log₁₀ x
\dfrac{1}{x\ln 10} \approx \dfrac{0.4343}{x}
Allgemeine Basis
\dfrac{d}{dx}\log_b x = \dfrac{1}{x\ln b}
Mit Kettenregel
\dfrac{d}{dx}\log_b u = \dfrac{u'}{u\ln b}
Basiswechsel
\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}
Definitionsbereich
x > 0
Auf dieser Seite
  1. Welcher Logarithmus ist "log x"?
  2. Beweis mit dem Basiswechsel
  3. Graph von log₁₀ x und seiner Ableitung
  4. Ableitungen für gängige Basen
  5. Mit der Kettenregel und Beispiele
  6. Umkehrfunktion von aˣ
  7. Typische Fehler

Die Ableitung von \log_{10} x ist \dfrac{1}{x\ln 10}. Für einen Logarithmus mit beliebiger Basis b gilt:

\frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10} \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,\log_b x = \frac{1}{x\ln b}

Das ist die Ableitung von ln x, also \frac{1}{x}, geteilt durch die Konstante \ln b.

Welcher Logarithmus ist "log x"?

Die Schreibweise hängt vom Umfeld ab:

  • Auf Taschenrechnern, in der Chemie und in den meisten Schulbüchern bedeutet \log x den Zehnerlogarithmus \log_{10} x (oft auch als lg x geschrieben).
  • In vielen Analysisbüchern, in der höheren Mathematik und in den meisten Programmiersprachen bedeutet \log x dasselbe wie \ln x.
  • In der Informatik meint \log x oft \log_2 x.

Wenn du unsicher bist, schau in die Lösungen: Steht dort \ln 10 im Ergebnis, ist die Basis 10 gemeint.

Beweis mit dem Basiswechsel

Mit der Formel für den Basiswechsel wird jeder Logarithmus zu einem natürlichen Logarithmus:

\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}

Da \frac{1}{\ln b} eine Konstante ist, liefert die Faktorregel

\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln b}

Für die Basis 10 ist \frac{1}{\ln 10} \approx 0.4343. Ein Zehnerlogarithmus wächst also mit etwa 43\% der Rate des natürlichen Logarithmus.

Graph von log₁₀ x und seiner Ableitung

Graph von y = log₁₀ x und seiner Ableitung
Der Zehnerlogarithmus wächst langsam. Seine Steigung bei x = 1 ist \frac{1}{\ln 10} \approx 0.434.

Ableitungen für gängige Basen

Funktion Ableitung Näherungsweise
\ln x \frac{1}{x} \frac{1}{x}
\log_{10} x \frac{1}{x\ln 10} \frac{0.4343}{x}
\log_2 x \frac{1}{x\ln 2} \frac{1.4427}{x}
\log_3 x \frac{1}{x\ln 3} \frac{0.9102}{x}

Mit der Kettenregel und Beispiele

\frac{d}{dx}\log_b u = \frac{u'}{u\ln b}

Beispiel 1. \frac{d}{dx}\log_{10}(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 10}.

Beispiel 2. \frac{d}{dx}\log_2(3x) = \frac{3}{3x\ln 2} = \frac{1}{x\ln 2}. Die 3 kürzt sich, genau wie bei der Ableitung von ln(2x).

Beispiel 3: Produktregel. Für f(x) = x\log_{10} x gilt

f'(x) = \log_{10} x + x\cdot\frac{1}{x\ln 10} = \log_{10} x + \frac{1}{\ln 10}

Beispiel 4: Dezibel. Der Schallpegel ist L = 10\log_{10}\frac{I}{I_0}. Dann gilt \frac{dL}{dI} = \frac{10}{I\ln 10}, jede zusätzliche Einheit Intensität fällt also umso weniger ins Gewicht, je größer I ist.

Umkehrfunktion von aˣ

\log_b x ist die Umkehrfunktion von b^x, dessen Ableitung b^x\ln b ist (siehe die Ableitung von 2ˣ und aˣ). Bei der einen steht \ln b im Zähler, bei der anderen im Nenner, genau wie es die Ableitung der Umkehrfunktion vorhersagt.

Typische Fehler

  1. Für die Basis 10 \frac{1}{x} schreiben. Das stimmt nur für den natürlichen Logarithmus.
  2. \log 10 statt \ln 10 schreiben. Der Faktor ist immer ein natürlicher Logarithmus. (\log_{10} 10 = 1, damit würde er fälschlich wegfallen.)
  3. \frac{\ln 10}{x} schreiben. Das \ln b gehört in den Nenner.

Mehr dazu findest du bei den Logarithmusfunktionen und in den Aufgaben zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist die Ableitung von log x?
Wenn \log x die Basis 10 meint, ist die Ableitung \frac{1}{x\ln 10}. Meint es den natürlichen Logarithmus, wie in vielen fortgeschrittenen Texten, ist die Ableitung \frac{1}{x}.

Was ist die Ableitung des Logarithmus zur Basis 2?
Sie lautet \frac{1}{x\ln 2}, also ungefähr \frac{1.443}{x}.

Warum steht in der Ableitung eines Zehnerlogarithmus ein ln?
Weil \log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10} gilt. Die Ableitung von \ln x ist \frac{1}{x}, und die Konstante \frac{1}{\ln 10} bleibt einfach stehen.

Was ist die Ableitung von log(x² + 1)?
Zur Basis 10 lautet sie \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 10}.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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Weitere ableitungen

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