Dérivée de log x : base 10 et base b, avec exemples
La dérivée de log₁₀ x est 1/(x ln 10), et celle de log_b x est 1/(x ln b). Démonstration par changement de base, exemples composés et courbe.
Dérivées exponentielles et logarithmiques Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée de log₁₀ x
- \dfrac{1}{x\ln 10} \approx \dfrac{0.4343}{x}
- Base quelconque
- \dfrac{d}{dx}\log_b x = \dfrac{1}{x\ln b}
- Forme composée
- \dfrac{d}{dx}\log_b u = \dfrac{u'}{u\ln b}
- Changement de base
- \log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}
- Domaine de définition
- x > 0
Sur cette page
La dérivée de \log_{10} x est \dfrac{1}{x\ln 10}. Pour un logarithme de base b quelconque :
C'est la dérivée de ln x, \frac{1}{x}, divisée par la constante \ln b.
Quel logarithme désigne « log x » ?
La notation dépend du contexte :
- Sur les calculatrices, en chimie et dans la plupart des cours de lycée, \log x désigne \log_{10} x.
- Dans beaucoup de manuels d'analyse, en mathématiques avancées et dans la plupart des langages de programmation, \log x désigne \ln x.
- En informatique, \log x désigne souvent \log_2 x.
En cas de doute, regardez le corrigé : une réponse contenant \ln 10 signifie qu'il s'agit de la base 10.
Démonstration par la formule de changement de base
La formule de changement de base transforme tout logarithme en logarithme népérien :
Comme \frac{1}{\ln b} est une constante, la règle du produit par une constante donne
Pour la base 10, \frac{1}{\ln 10} \approx 0.4343. Un logarithme décimal croît donc à environ 43\% du rythme du logarithme népérien.
Courbe de log₁₀ x et de sa dérivée
Dérivées pour les bases usuelles
| Fonction | Dérivée | Valeur approchée |
|---|---|---|
| \ln x | \frac{1}{x} | \frac{1}{x} |
| \log_{10} x | \frac{1}{x\ln 10} | \frac{0.4343}{x} |
| \log_2 x | \frac{1}{x\ln 2} | \frac{1.4427}{x} |
| \log_3 x | \frac{1}{x\ln 3} | \frac{0.9102}{x} |
Version composée et exemples
Exemple 1. \frac{d}{dx}\log_{10}(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 10}.
Exemple 2. \frac{d}{dx}\log_2(3x) = \frac{3}{3x\ln 2} = \frac{1}{x\ln 2}. Le 3 se simplifie, exactement comme dans la dérivée de ln(2x).
Exemple 3 : règle du produit. Pour f(x) = x\log_{10} x,
Exemple 4 : les décibels. Le niveau sonore vaut L = 10\log_{10}\frac{I}{I_0}. Alors \frac{dL}{dI} = \frac{10}{I\ln 10}, donc chaque unité d'intensité supplémentaire compte de moins en moins quand I augmente.
Réciproque de aˣ
\log_b x est la réciproque de b^x, dont la dérivée est b^x\ln b (voir la dérivée de 2ˣ et de aˣ). L'une a \ln b au numérateur et l'autre au dénominateur, comme le prévoit la dérivée de la fonction réciproque.
Erreurs fréquentes
- Écrire \frac{1}{x} pour la base 10. Ce n'est correct que pour le logarithme népérien.
- Mettre \log 10 au lieu de \ln 10. Le facteur est toujours un logarithme népérien. (\log_{10} 10 = 1, ce qui le ferait disparaître à tort.)
- Écrire \frac{\ln 10}{x}. Le \ln b va au dénominateur.
Pour aller plus loin, voir les fonctions logarithmes et les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes.
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