Ejercicios resueltos de integración por fracciones parciales
12 ejercicios de descomposición en fracciones parciales con respuestas: factores distintos y repetidos, cuadráticos irreducibles y división previa.
Técnicas de integración Actualizado 5 min de lectura
De un vistazo
- Ejercicios
- 12, con respuestas y soluciones completas
- Nivel
- Cálculo 2 y AP Calculus BC
- Necesitas
- Factorizar, la división de polinomios y \int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
- Idea principal
- Descompón una fracción difícil en varias fáciles e integra cada una
- Practica con números nuevos
- Lección de fracciones parciales
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Estos ejercicios de fracciones parciales (o fracciones simples) empiezan con dos factores lineales distintos y siguen con factores repetidos, cuadráticos irreducibles, división de polinomios e integrales definidas. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y luego las soluciones completas.
El planteamiento para cada tipo de factor del denominador:
| Factor | Términos que incluir |
|---|---|
| (x - a) | \dfrac{A}{x - a} |
| (x - a)^2 | \dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{(x - a)^2} |
| x^2 + bx + c (sin raíces reales) | \dfrac{Bx + C}{x^2 + bx + c} |
Para ver ejemplos resueltos y el razonamiento, lee la guía de fracciones parciales.
Ejercicios
Factores lineales distintos
- \displaystyle\int\frac{1}{x(x + 1)}\,dx
- \displaystyle\int\frac{1}{x^2 - 4}\,dx
- \displaystyle\int\frac{5x - 1}{(x + 1)(x - 2)}\,dx
- \displaystyle\int\frac{x + 5}{x^2 + x - 2}\,dx
Factores repetidos
- \displaystyle\int\frac{1}{x^2(x + 1)}\,dx
- \displaystyle\int\frac{3x + 5}{(x + 1)^2}\,dx
Cuadráticos irreducibles
- \displaystyle\int\frac{1}{x(x^2 + 1)}\,dx
- \displaystyle\int\frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)(x^2 + 1)}\,dx
Primero la división
- \displaystyle\int\frac{x^2 + 1}{x - 1}\,dx
- \displaystyle\int\frac{x^3}{x^2 - 1}\,dx
Integrales definidas
- \displaystyle\int_2^3\frac{1}{x^2 - 1}\,dx
- \displaystyle\int_0^1\frac{2}{(x + 1)(x + 2)}\,dx
Respuestas
| Ejercicio | Respuesta |
|---|---|
| 1 | \ln\lvert x\rvert - \ln\lvert x + 1\rvert + C |
| 2 | \dfrac{1}{4}\ln\left\lvert\dfrac{x - 2}{x + 2}\right\rvert + C |
| 3 | 2\ln\lvert x + 1\rvert + 3\ln\lvert x - 2\rvert + C |
| 4 | 2\ln\lvert x - 1\rvert - \ln\lvert x + 2\rvert + C |
| 5 | -\ln\lvert x\rvert - \dfrac{1}{x} + \ln\lvert x + 1\rvert + C |
| 6 | 3\ln\lvert x + 1\rvert - \dfrac{2}{x + 1} + C |
| 7 | \ln\lvert x\rvert - \dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C |
| 8 | \dfrac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + \dfrac{1}{4}\ln(x^2 + 1) + \dfrac{1}{2}\arctan x + C |
| 9 | \dfrac{x^2}{2} + x + 2\ln\lvert x - 1\rvert + C |
| 10 | \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C |
| 11 | \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2} \approx 0.2027 |
| 12 | 2\ln\dfrac{4}{3} \approx 0.5754 |
Soluciones paso a paso
1. Escribe \frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}, así que 1 = A(x + 1) + Bx. Sustituye x = 0: A = 1. Sustituye x = -1: B = -1:
2. Factoriza: x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2). Entonces 1 = A(x + 2) + B(x - 2). En x = 2, A = \frac{1}{4}. En x = -2, B = -\frac{1}{4}. Junta los dos logaritmos en uno.
3. 5x - 1 = A(x - 2) + B(x + 1). En x = -1: -6 = -3A, así que A = 2. En x = 2: 9 = 3B, así que B = 3.
4. Factoriza: x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1). Entonces x + 5 = A(x - 1) + B(x + 2). En x = 1: 6 = 3B, así que B = 2. En x = -2: 3 = -3A, así que A = -1.
5. El factor x^2 está repetido, así que escribe \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1}. Entonces 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2. En x = 0: B = 1. En x = -1: C = 1. Iguala los términos en x^2: A + C = 0, así que A = -1:
6. Escribe el numerador en función de x + 1: 3x + 5 = 3(x + 1) + 2. Así que la fracción es \frac{3}{x + 1} + \frac{2}{(x + 1)^2}. El segundo término se integra con la regla de la potencia y da -\frac{2}{x + 1}.
7. Escribe \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}, así que 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x. En x = 0: A = 1. Iguala x^2: A + B = 0, así que B = -1. Iguala x: C = 0. El término \frac{-x}{x^2 + 1} se integra como -\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1).
8. Escribe \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}, así que x^2 + x + 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 1). En x = -1: 1 = 2A, así que A = \frac{1}{2}. Iguala x^2: 1 = A + B, así que B = \frac{1}{2}. Iguala los términos independientes: 1 = A + C, así que C = \frac{1}{2}. Entonces:
Las tres partes dan un logaritmo, otro logaritmo por cambio de variable y una arcotangente.
9. El numerador tiene grado 2 y el denominador grado 1, así que divide: x^2 + 1 = (x - 1)(x + 1) + 2. El integrando queda x + 1 + \frac{2}{x - 1}.
10. Divide: x^3 = x(x^2 - 1) + x, así que el integrando es x + \frac{x}{x^2 - 1}. El segundo término sale con el cambio u = x^2 - 1 y da \frac{1}{2}\ln|x^2 - 1|.
11. Como en el ejercicio 2, \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right):
12. \frac{2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x + 2}:
Errores comunes en estos ejercicios
- Saltarse la división. En el ejercicio 9, descomponer \frac{x^2 + 1}{x - 1} sin dividir primero da un planteamiento sin solución.
- Un solo término para un factor repetido. \frac{1}{x^2(x + 1)} necesita tanto \frac{A}{x} como \frac{B}{x^2}.
- Una constante sobre un cuadrático. Un cuadrático irreducible necesita Bx + C en el numerador, no solo B.
- Integrar \frac{1}{(x + 1)^2} como un logaritmo. Es una potencia: \int(x + 1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x + 1}.
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