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Potencias, raíces y funciones racionales

Integral de 1/(x² - 1): fórmula, fracciones parciales y ejemplos

La integral de 1/(x² - 1) es ½ ln|(x - 1)/(x + 1)| + C. Los pasos de fracciones parciales, la fórmula general de 1/(x² - a²) e integrales definidas resueltas.

Potencias, raíces y funciones racionales Actualizado 2 min de lectura

De un vistazo

\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C
Antiderivada
\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C
Método
Fracciones parciales
Descomposición
\dfrac{1}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}\right)
Forma general
\int\dfrac{dx}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x - a}{x + a}\right\rvert + C
No definida en
x = \pm 1
En esta página
  1. Gráfica de 1/(x² - 1)
  2. Fracciones parciales paso a paso
  3. Comprobación derivando
  4. La fórmula general: 1/(x² - a²)
  5. Ejemplos resueltos
  6. Errores comunes

La integral de \dfrac{1}{x^2 - 1} es \dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C. Es la integral más sencilla que necesita fracciones parciales.

\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C

Gráfica de 1/(x² - 1)

Gráfica de y = 1/(x² - 1) con el área entre x = 2 y x = 3 sombreada
La función tiene asíntotas verticales en x = -1 y x = 1. El área sombreada es \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203.

Entre las asíntotas la función es negativa, con un máximo de -1 en x = 0. Fuera de ellas es positiva y decrece hacia 0.

Fracciones parciales paso a paso

  1. Factoriza el denominador: x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).
  2. Plantea la descomposición: \dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1}.
  3. Quita denominadores: 1 = A(x + 1) + B(x - 1).
  4. Toma x = 1: 1 = 2A, así que A = \frac{1}{2}. Toma x = -1: 1 = -2B, así que B = -\frac{1}{2}.
  5. Integra cada fracción con la integral de 1/x:
\int\left(\frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C
  1. Agrupa los logaritmos: \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C.

La guía de fracciones parciales también trata los factores repetidos y cuadráticos.

Comprobación derivando

\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} \checkmark

La fórmula general: 1/(x² - a²)

Los mismos pasos con (x - a)(x + a) dan A = \frac{1}{2a}, B = -\frac{1}{2a}, así que

\int\frac{1}{x^2 - a^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C

Por ejemplo, \int\frac{1}{x^2 - 9}\,dx = \frac{1}{6}\ln\left\lvert\frac{x - 3}{x + 3}\right\rvert + C.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: integral definida. Para la región sombreada:

\int_2^3\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{2}{4} - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203

Ejemplo 2: integral impropia. Cuando x \to \infty, \frac{x - 1}{x + 1} \to 1 y el logaritmo tiende a 0:

\int_2^\infty\frac{dx}{x^2 - 1} = 0 - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549

Ejemplo 3: entre las asíntotas. \int_0^{1/2}\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{1/2}{3/2} - 0 = -\frac{1}{2}\ln 3. Negativa, como anticipa la gráfica.

Ejemplo 4: el signo invertido. \int\frac{1}{1 - x^2}\,dx = -\int\frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C.

Ejemplo 5: primero una sustitución. \int\frac{\cos x}{\sin^2 x - 1}\,dx con u = \sin x se convierte en \int\frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{\sin x - 1}{\sin x + 1}\right\rvert + C.

Errores comunes

  1. Responder \arctan x. Eso corresponde a x^2 + 1. Revisa el signo del denominador.
  2. Responder \ln\lvert x^2 - 1\rvert. El numerador es 1, no 2x, así que el patrón \frac{f'}{f} no se aplica. Ese patrón da en cambio la integral de x/(x² + 1).
  3. Equivocarse con el signo de B. Sustituye valores para comprobar la descomposición.
  4. Integrar atravesando x = \pm 1. Esas integrales son impropias y divergen.

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Preguntas frecuentes

¿Cuál es la integral de 1/(x² - 1)?
Es \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C, que se agrupa como \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C.

¿Cuál es la integral de 1/(1 - x²)?
Es la opuesta de la anterior: \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C. Para \lvert x\rvert < 1 es igual a \operatorname{artanh} x + C.

¿Cuál es la integral de 1/(x² - a²)?
Es \frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C, y se obtiene con las mismas fracciones parciales.

¿Por qué no da arctan?
\arctan x sale de \frac{1}{x^2 + 1}, cuyo denominador nunca se factoriza en los números reales. x^2 - 1 sí se factoriza, así que entran en juego las fracciones parciales y los logaritmos.

Escrito por el equipo de PracticeCalculus

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