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Técnicas de integración

Ejercicios resueltos de sustitución trigonométrica

12 ejercicios de sustitución trigonométrica con respuestas y soluciones completas para √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) y completar el cuadrado.

Técnicas de integración Actualizado 4 min de lectura

De un vistazo

\sqrt{a^2 - x^2}:\ x = a\sin\theta \quad \sqrt{a^2 + x^2}:\ x = a\tan\theta \quad \sqrt{x^2 - a^2}:\ x = a\sec\theta
Ejercicios
12, con respuestas y soluciones completas
Nivel
Cálculo 2
Necesitas
Integrales trigonométricas y las identidades pitagóricas
Idea principal
Elige x de modo que la expresión bajo la raíz se convierta en el cuadrado perfecto de una función trigonométrica
Practica con números nuevos
Lección de sustitución trigonométrica
En esta página
  1. Ejercicios
  2. Respuestas
  3. Soluciones paso a paso
  4. Errores comunes en estos ejercicios
  5. Sigue practicando

Estos ejercicios de sustitución trigonométrica cubren las tres formas estándar, algunos casos que salen directamente por fórmula, integrales definidas y completar el cuadrado. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y luego las soluciones completas.

Elige la sustitución según la forma que hay bajo la raíz:

Expresión Sustitución Identidad que se usa
\sqrt{a^2 - x^2} x = a\sin\theta 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta
\sqrt{a^2 + x^2} x = a\tan\theta 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta
\sqrt{x^2 - a^2} x = a\sec\theta \sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta

Ejercicios

Por fórmula

  1. \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx
  2. \displaystyle\int\frac{1}{9 + x^2}\,dx
  3. \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9}}\,dx

Sustituciones completas

  1. \displaystyle\int\sqrt{1 - x^2}\,dx
  2. \displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx
  3. \displaystyle\int\frac{1}{x^2\sqrt{4 - x^2}}\,dx
  4. \displaystyle\int\frac{1}{(x^2 + 4)^{3/2}}\,dx
  5. \displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\,dx para x > 1

Integrales definidas

  1. \displaystyle\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx
  2. \displaystyle\int_0^2\frac{1}{x^2 + 4}\,dx

Completa primero el cuadrado

  1. \displaystyle\int\frac{1}{x^2 + 2x + 5}\,dx
  2. \displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{3 - 2x - x^2}}\,dx

Respuestas

Ejercicio Respuesta
1 \arcsin\dfrac{x}{2} + C
2 \dfrac{1}{3}\arctan\dfrac{x}{3} + C
3 \ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 + 9}\right\rvert + C
4 \dfrac{1}{2}\left(\arcsin x + x\sqrt{1 - x^2}\right) + C
5 \dfrac{9}{2}\arcsin\dfrac{x}{3} - \dfrac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C
6 -\dfrac{\sqrt{4 - x^2}}{4x} + C
7 \dfrac{x}{4\sqrt{x^2 + 4}} + C
8 \sqrt{x^2 - 1} - \operatorname{arcsec} x + C
9 \dfrac{\pi}{4}
10 \dfrac{\pi}{8}
11 \dfrac{1}{2}\arctan\dfrac{x + 1}{2} + C
12 \arcsin\dfrac{x + 1}{2} + C

Soluciones paso a paso

1. Sea x = 2\sin\theta, así que dx = 2\cos\theta\,d\theta y \sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta. La integral queda \int d\theta = \theta:

\arcsin\frac{x}{2} + C

2. Sea x = 3\tan\theta, así que dx = 3\sec^2\theta\,d\theta y 9 + x^2 = 9\sec^2\theta:

\int\frac{3\sec^2\theta}{9\sec^2\theta}\,d\theta = \frac{\theta}{3} + C = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C

3. Sea x = 3\tan\theta, así que \sqrt{x^2 + 9} = 3\sec\theta y la integral queda \int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta|. Por el triángulo, \sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+9}}{3} y \tan\theta = \frac{x}{3}. El \ln 3 que aparece se suma a la constante:

\ln\left|x + \sqrt{x^2 + 9}\right| + C

4. Sea x = \sin\theta, así que la integral es \int\cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2}. Con \sin\theta = x y \cos\theta = \sqrt{1 - x^2}, obtienes la respuesta de la tabla. Consulta la integral de √(1 − x²).

5. Sea x = 3\sin\theta. Entonces x^2 = 9\sin^2\theta, dx = 3\cos\theta\,d\theta y \sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta:

\int 9\sin^2\theta\,d\theta = \frac{9}{2}\left(\theta - \sin\theta\cos\theta\right) + C

Como \sin\theta\cos\theta = \frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9 - x^2}}{3}, esto da \frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3} - \frac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C.

6. Sea x = 2\sin\theta. Entonces x^2 = 4\sin^2\theta y \sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta:

\int\frac{2\cos\theta}{4\sin^2\theta\cdot 2\cos\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\csc^2\theta\,d\theta = -\frac{\cot\theta}{4} + C

Por el triángulo, \cot\theta = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}.

7. Sea x = 2\tan\theta. Entonces (x^2 + 4)^{3/2} = 8\sec^3\theta y dx = 2\sec^2\theta\,d\theta:

\int\frac{2\sec^2\theta}{8\sec^3\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin\theta}{4} + C

Por el triángulo, \sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}.

8. Sea x = \sec\theta, así que dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta y \sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta:

\int\frac{\tan\theta}{\sec\theta}\sec\theta\tan\theta\,d\theta = \int\tan^2\theta\,d\theta = \tan\theta - \theta + C

Con \tan\theta = \sqrt{x^2 - 1} y \theta = \operatorname{arcsec} x, obtienes la respuesta.

9. Usa el ejercicio 4: \frac{1}{2}\left(\arcsin 1 + 0\right) - 0 = \frac{\pi}{4}. Es un cuarto del círculo unidad.

10. Usa \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}:

\frac{1}{2}\arctan 1 - \frac{1}{2}\arctan 0 = \frac{\pi}{8}

11. Completa el cuadrado: x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4. Con u = x + 1, queda \int\frac{du}{u^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{u}{2}.

12. Completa el cuadrado: 3 - 2x - x^2 = 4 - (x + 1)^2. Con u = x + 1, queda \int\frac{du}{\sqrt{4 - u^2}} = \arcsin\frac{u}{2}.

Errores comunes en estos ejercicios

  • Elegir la sustitución equivocada. \sqrt{9 + x^2} necesita \tan, no \sin. Fíjate en el patrón de signos de la tabla de arriba.
  • Olvidar sustituir dx. Con x = 2\tan\theta, dx = 2\sec^2\theta\,d\theta. Dejar dx sin cambiar estropea todos los pasos siguientes.
  • Dejar la respuesta en \theta. Una integral indefinida en x necesita una respuesta en x. Usa el triángulo.
  • Usar sustitución trigonométrica cuando basta un cambio de variable simple. \int x\sqrt{4 - x^2}\,dx sale en una línea con u = 4 - x^2.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la lección de sustitución trigonométrica y la lección para elegir una estrategia. Para ver ejemplos resueltos, lee la guía de sustitución trigonométrica. Para funciones racionales sin raíces, sigue con los ejercicios de fracciones parciales.

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Preguntas frecuentes

¿Cuándo se usa la sustitución trigonométrica?
Úsala cuando veas \sqrt{a^2 - x^2}, \sqrt{a^2 + x^2}, \sqrt{x^2 - a^2} o a^2 + x^2 elevado a una potencia, y no funcione un cambio de variable más sencillo. Si hay un factor x fuera de la raíz, como en \int x\sqrt{1 - x^2}\,dx, prueba primero un cambio de variable simple.

¿Cómo se vuelve a x después de la sustitución trigonométrica?
Dibuja un triángulo rectángulo. Para x = 2\sin\theta, el cateto opuesto es x y la hipotenusa 2. El cateto contiguo es entonces \sqrt{4 - x^2}, y puedes leer \cos\theta, \tan\theta o cualquier otra razón.

¿Qué se hace con un polinomio de segundo grado que no está en la forma estándar?
Completa primero el cuadrado. Por ejemplo, x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4, que coincide con u^2 + a^2 para u = x + 1 y a = 2. Los ejercicios 11 y 12 lo muestran.

Escrito por el equipo de PracticeCalculus

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