Ejercicios de representación de funciones resueltos con respuestas
12 ejercicios de representación gráfica con respuestas y soluciones: puntos críticos, crecimiento y decrecimiento, extremos, concavidad y asíntotas.
Aplicaciones de la derivada Actualizado 8 min de lectura
De un vistazo
- Ejercicios
- 12, con respuestas y soluciones completas
- Nivel
- Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 5
- Necesitas
- Las reglas de derivación y los límites al infinito para las asíntotas
- Idea principal
- El signo de f' te dice dónde f sube o baja. El signo de f'' te dice hacia dónde se curva
- Practica con números nuevos
- Lección de crecimiento y decrecimiento
En esta página
Estos ejercicios de representación gráfica de funciones recorren todo lo que necesitas para dibujar una gráfica a partir de sus derivadas: puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos locales, concavidad, puntos de inflexión y asíntotas. Intenta cada uno primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.
Lo que te dice cada derivada:
| Signo | Significado |
|---|---|
| f'(x) > 0 | f es creciente |
| f'(x) < 0 | f es decreciente |
| f''(x) > 0 | f es cóncava hacia arriba (se curva como una taza) |
| f''(x) < 0 | f es cóncava hacia abajo (se curva como un gorro) |
Para un recorrido completo, lee la guía de representación de funciones.
Ejercicios
Una función, paso a paso: f(x) = x^3 - 3x^2
- Halla los puntos críticos.
- Halla dónde f es creciente y decreciente.
- Halla el máximo y el mínimo locales.
- Halla los intervalos de concavidad y el punto de inflexión.
Puntos críticos que no son extremos
- Halla los extremos locales de f(x) = x^4 - 4x^3.
- Halla los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de f(x) = x^4 - 4x^3.
Exponenciales y funciones racionales
- Para f(x) = xe^{-x}, halla los extremos locales, el punto de inflexión y la asíntota horizontal.
- Para f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}, halla los extremos locales y la asíntota horizontal.
- Para f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}, halla las asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos locales y la concavidad.
Criterios y casos especiales
- Usa el criterio de la segunda derivada para clasificar los puntos críticos de f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x.
- Una función cumple f'(x) = (x - 1)^2(x + 2). ¿Dónde tiene f extremos locales?
- Halla y clasifica el punto crítico de f(x) = x^{2/3}, y describe su concavidad.
Respuestas
| Ejercicio | Respuesta |
|---|---|
| 1 | x = 0 y x = 2 |
| 2 | Creciente en (-\infty, 0) y (2, \infty), decreciente en (0, 2) |
| 3 | Máximo local (0, 0), mínimo local (2, -4) |
| 4 | Cóncava hacia abajo en (-\infty, 1), hacia arriba en (1, \infty), punto de inflexión (1, -2) |
| 5 | Solo mínimo local (3, -27). x = 0 no es un extremo |
| 6 | Hacia arriba en (-\infty, 0), hacia abajo en (0, 2), hacia arriba en (2, \infty). Puntos de inflexión (0, 0) y (2, -16) |
| 7 | Máximo local \left(1, \frac{1}{e}\right), punto de inflexión \left(2, \frac{2}{e^2}\right), asíntota y = 0 cuando x\to\infty |
| 8 | Mínimo local \left(-1, -\frac{1}{2}\right), máximo local \left(1, \frac{1}{2}\right), asíntota y = 0 |
| 9 | Ver la solución 9 |
| 10 | Máximo local (-2, 20), mínimo local (1, -7) |
| 11 | Solo mínimo local en x = -2 |
| 12 | Mínimo local en (0, 0) (un punto anguloso tipo cúspide), cóncava hacia abajo a ambos lados |
Soluciones paso a paso
1. Deriva e iguala a cero:
2. Prueba un número en cada intervalo:
| Intervalo | Valor de prueba | Signo de f' | f es |
|---|---|---|---|
| (-\infty, 0) | f'(-1) = 9 | + | creciente |
| (0, 2) | f'(1) = -3 | - | decreciente |
| (2, \infty) | f'(3) = 9 | + | creciente |
3. En x = 0, f' pasa de + a -, así que hay un máximo local: f(0) = 0. En x = 2, f' pasa de - a +, así que hay un mínimo local: f(2) = 8 - 12 = -4.
4. La segunda derivada es f''(x) = 6x - 6, que vale 0 en x = 1. Es negativa para x < 1 y positiva para x > 1, así que la concavidad cambia. El punto de inflexión es (1, f(1)) = (1, -2).
5. Deriva y factoriza:
Los puntos críticos son x = 0 y x = 3. Como 4x^2 \ge 0, el signo de f' es el signo de x - 3: negativo a ambos lados de 0 y positivo después de 3. Así que f decrece al pasar por x = 0 sin dar la vuelta, y x = 0 no es un extremo. En x = 3 el signo pasa de - a +, lo que da un mínimo local f(3) = 81 - 108 = -27.
6. La segunda derivada es
Es positiva en (-\infty, 0), negativa en (0, 2) y positiva en (2, \infty). Cambia de signo en ambos ceros, así que los puntos de inflexión son (0, 0) y (2, 16 - 32) = (2, -16).
7. Usa la regla del producto:
Como e^{-x} > 0, f' tiene el signo de 1 - x: positiva antes de 1 y negativa después. Así que hay un máximo local en \left(1, \frac{1}{e}\right). Deriva otra vez:
Esta cambia de signo en x = 2, así que el punto de inflexión es \left(2, \frac{2}{e^2}\right). Cuando x\to\infty, xe^{-x} = \frac{x}{e^x}\to 0, así que y = 0 es una asíntota horizontal por la derecha.
8. Usa la regla del cociente:
El denominador siempre es positivo, así que el signo viene de 1 - x^2: negativo para x < -1, positivo en (-1, 1) y negativo para x > 1. Eso da un mínimo local f(-1) = -\frac{1}{2} y un máximo local f(1) = \frac{1}{2}. El grado del denominador es mayor, así que y = 0 es la asíntota horizontal.
9. Asíntotas. El denominador x^2 - 4 se anula en x = \pm 2 y el numerador no, así que hay asíntotas verticales en x = -2 y x = 2. Los grados coinciden, así que la asíntota horizontal es y = 1.
Crecimiento y decrecimiento. Usa la regla del cociente:
El denominador es positivo, así que f' > 0 para x < 0 y f' < 0 para x > 0. f es creciente en (-\infty, -2) y (-2, 0), y decreciente en (0, 2) y (2, \infty). Hay un máximo local en (0, 0).
Concavidad. Derivando otra vez y simplificando se obtiene
El numerador siempre es positivo, así que el signo viene de (x^2 - 4)^3. f es cóncava hacia arriba en (-\infty, -2) y (2, \infty), y cóncava hacia abajo en (-2, 2). La concavidad solo cambia en las asíntotas, donde f no está definida, así que no hay puntos de inflexión.
10. Halla los puntos críticos:
La segunda derivada es f''(x) = 12x + 6.
- f''(-2) = -18 < 0: máximo local, f(-2) = -16 + 12 + 24 = 20.
- f''(1) = 18 > 0: mínimo local, f(1) = 2 + 3 - 12 = -7.
11. Los puntos críticos son x = 1 y x = -2. El factor (x - 1)^2 nunca es negativo, así que el signo de f' viene de x + 2. Pasa de - a + en x = -2, un mínimo local. En x = 1 el signo sigue siendo + a ambos lados, así que ahí no hay extremo.
12. La derivada es
Nunca vale 0, pero no está definida en x = 0, donde f sí lo está. Así que x = 0 es un punto crítico. f' < 0 para x < 0 y f' > 0 para x > 0, así que (0, 0) es un mínimo local. La pendiente tiende a \pm\infty a cada lado, lo que forma una punta afilada llamada cúspide. La segunda derivada es f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-4/3}, negativa para todo x \ne 0, así que la gráfica es cóncava hacia abajo a ambos lados.
Errores comunes en estos ejercicios
- Llamar extremo a todo punto crítico. En los ejercicios 5 y 11, f' se anula pero mantiene su signo, así que no hay máximo ni mínimo.
- Olvidar los puntos donde f' no está definida. El ejercicio 12 no tiene solución de f'(x) = 0, pero aun así tiene un mínimo.
- Contar una asíntota como punto de inflexión. En el ejercicio 9 la concavidad cambia en x = \pm 2, pero f no está definida ahí.
- Dar solo el valor de x. Un máximo o mínimo local es un punto. Da también f(c), como en el ejercicio 3.
Sigue practicando
Estos 12 ejercicios usan funciones fijas. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la lección de puntos críticos, la lección de crecimiento y decrecimiento y la lección de la segunda derivada. Después aplica las mismas herramientas a problemas con enunciado en los ejercicios de optimización.
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Concavidad y segunda derivada
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