Ejercicios resueltos del Teorema del Valor Medio con soluciones

Estos ejercicios del Teorema del Valor Medio (también llamado teorema de Lagrange) empiezan hallando el valor de c, y luego cubren el teorema de Rolle, casos en los que el teorema no se aplica y sus dos usos clásicos: acotar una función y demostrar que una ecuación tiene exactamente una raíz. Intenta cada uno primero. Las respuestas aparecen justo después de la lista, y luego las soluciones completas.

El teorema: si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces para algún c en (a, b),

Consulta las páginas del Teorema del Valor Medio y del teorema de Rolle para ver la demostración, o la guía del TVM para más ejemplos.

Ejercicios

Halla c

1. f(x) = x^2 en [1, 3]
2. f(x) = x^3 en [0, 3]
3. f(x) = \sqrt{x} en [0, 4]
4. f(x) = \dfrac{1}{x} en [1, 4]
5. f(x) = \ln x en [1, e]
6. f(x) = x^3 - 3x en [-2, 2]

Teorema de Rolle

7. Comprueba el teorema de Rolle para f(x) = x^2 - 4x + 1 en [0, 4] y halla c.

¿Se aplica el teorema?

8. ¿Se aplica el TVM a f(x) = \dfrac{1}{x} en [-1, 1]?
9. ¿Se aplica el TVM a f(x) = |x| en [-1, 2]? ¿Hay de todos modos algún c que funcione?

Usar el teorema

10. Un coche recorre 150 millas en 2 horas. Demuestra que en algún momento su velocidad fue exactamente 75 mph (millas por hora).
11. Supón que f(1) = 3 y f'(x) \le 5 para todo x. ¿Cuál es el mayor valor posible de f(4)?
12. Demuestra que x^3 + 2x - 1 = 0 tiene exactamente una solución real.

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. f es un polinomio, así que se cumplen las hipótesis. La pendiente media es \frac{9 - 1}{3 - 1} = 4, y f'(c) = 2c:

2. La pendiente media es \frac{27 - 0}{3} = 9, y f'(c) = 3c^2:

Solo c = \sqrt{3} está en (0, 3).

3. \sqrt{x} es continua en [0, 4] y derivable en (0, 4). Eso basta, aunque la derivada no exista en x = 0. La pendiente media es \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}:

4. \frac{1}{x} no da problemas en [1, 4] porque 0 no está en el intervalo. La pendiente media es \frac{\frac{1}{4} - 1}{3} = -\frac{1}{4}:

5. La pendiente media es \frac{\ln e - \ln 1}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}, y f'(c) = \frac{1}{c}:

Este valor está entre 1 y e \approx 2.718, como debe ser.

6. f(2) = 8 - 6 = 2 y f(-2) = -8 + 6 = -2, así que la pendiente media es \frac{2 - (-2)}{4} = 1:

Ambos valores están en (-2, 2), así que los dos sirven. El TVM garantiza al menos un c, no exactamente uno.

7. f es un polinomio, y f(0) = 1 y f(4) = 16 - 16 + 1 = 1 son iguales, así que se aplica el teorema de Rolle. Resuelve f'(c) = 0:

8. No. \frac{1}{x} no está definida en x = 0, que está dentro de [-1, 1], así que f no es continua en el intervalo. De hecho, la pendiente media es \frac{1 - (-1)}{2} = 1, pero f'(x) = -\frac{1}{x^2} siempre es negativa, así que ningún c funciona.

9. |x| es continua en [-1, 2] pero no es derivable en x = 0, así que el TVM no se aplica. La pendiente media es \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}, pero f'(x) solo vale -1 o 1. Ningún c da \frac{1}{3}, lo que muestra por qué importa la hipótesis de derivabilidad.

10. Sea s(t) la distancia recorrida después de t horas. La posición es continua y derivable, y s'(t) es la velocidad. Por el TVM existe un instante c en (0, 2) con

11. Aplica el TVM en [1, 4]. Para algún c en (1, 4):

Así que f(4) \le 3 + 15 = 18. El valor 18 se alcanza cuando f'(x) = 5 en todas partes, por ejemplo con f(x) = 5x - 2.

12. Al menos una raíz. Sea f(x) = x^3 + 2x - 1. Es continua, con f(0) = -1 < 0 y f(1) = 2 > 0. Por el Teorema del Valor Intermedio, hay una raíz en (0, 1).

Como mucho una raíz. Supón que hubiera dos raíces a < b. Entonces f(a) = f(b) = 0, y el teorema de Rolle daría un c con f'(c) = 0. Pero f'(x) = 3x^2 + 2 \ge 2 nunca vale 0. Así que no puede haber dos raíces, y hay exactamente una.

Errores comunes en estos ejercicios

• Saltarse las hipótesis. Los ejercicios 8 y 9 muestran que sin continuidad o derivabilidad la conclusión puede fallar.
• Quedarse con un c fuera del intervalo. En el ejercicio 2, c = -\sqrt{3} resuelve la ecuación pero no está en (0, 3).
• Parar en un solo c. En el ejercicio 6 hay dos valores válidos. Escribe todas las soluciones del intervalo.
• Confundir la tasa media con la instantánea. El lado izquierdo del TVM es una derivada en un punto. El lado derecho es la pendiente de la recta secante en todo el intervalo.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la lección de aproximación lineal y TVM. Para repasar la hipótesis de continuidad, usa los ejercicios de continuidad, y para una idea parecida con integrales, consulta el Teorema del Valor Medio para integrales.