Función raíz cuadrada √x: gráfica, dominio, derivada e integral

La función raíz cuadrada f(x) = \sqrt{x} devuelve el número no negativo cuyo cuadrado es x. Es la inversa de x^2 en x \ge 0, la función potencia con exponente \frac{1}{2}, y el ejemplo clásico de una función que es continua en un punto pero no derivable en él.

Fórmula

Por convención, \sqrt{x} significa la raíz principal (no negativa), así que \sqrt{9} = 3, no \pm 3. En consecuencia, \sqrt{x^2} = |x| para todo x real.

Gráfica de la función raíz cuadrada

Propiedades clave

• Dominio y rango: ambos son [0, \infty).
• Creciente en todo su dominio, ya que su derivada es positiva para x > 0.
• Cóncava hacia abajo: f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0 para x > 0, así que crece cada vez más despacio.
• Continua en 0 por la derecha, con \lim_{x \to 0^+}\sqrt{x} = 0.
• No derivable en 0, donde la tangente es vertical.
• No acotada pero lenta: \sqrt{x} \to \infty cuando x \to \infty, más despacio que cualquier potencia positiva x^p con p > \frac{1}{2}.
• Reflejo de una parábola: la gráfica es la mitad derecha de y = x^2 reflejada respecto de la recta y = x.

Derivada de √x

Usando la regla de la potencia con x^{1/2}:

Con la regla de la cadena se obtiene el patrón general

Integral de √x

Suma uno al exponente (\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}) y divide entre \frac{3}{2}, que es lo mismo que multiplicar por \frac{2}{3}.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: recta tangente. En x = 4, f(4) = 2 y f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}. La recta tangente es y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{1}{4}x + 1.

Ejemplo 2: aproximación lineal. Usando esa recta tangente, \sqrt{4.2} \approx \frac{1}{4}(4.2) + 1 = 2.05. El valor real es aproximadamente 2.0494. Consulta la aproximación lineal.

Ejemplo 3: regla de la cadena. \frac{d}{dx}\sqrt{3x + 1} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}.

Ejemplo 4: integral definida. \int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}.

Ejemplo 5: dominio. \sqrt{4 - x^2} requiere 4 - x^2 \ge 0, así que el dominio es [-2, 2]. Su gráfica es la mitad superior de la circunferencia x^2 + y^2 = 4.

Errores comunes

1. Separar una raíz sobre una suma. \sqrt{x^2 + 9} \ne x + 3. Las raíces se separan sobre productos, \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} para a, b \ge 0, pero nunca sobre sumas.
2. Escribir la derivada como \frac{1}{\sqrt{x}} o 2\sqrt{x}. El factor es \frac{1}{2} y la raíz se queda en el denominador.
3. Integrar y obtener \frac{3}{2}x^{3/2}. Divide entre \frac{3}{2}; no multipliques.
4. Suponer que \sqrt{x^2} = x. Es igual a |x|, lo que importa cuando x puede ser negativo.

Cómo se relaciona

Las raíces cuadradas aparecen en la longitud de arco, en las fórmulas de distancia y en integrales de sustitución trigonométrica como \int \sqrt{1 - x^2}\,dx. Forman parte de las funciones potencia, y \sqrt{x^2} = |x| las conecta con la función valor absoluto.