Função raiz quadrada √x: gráfico, domínio, derivada e integral

A função raiz quadrada f(x) = \sqrt{x} devolve o número não negativo cujo quadrado é x. Ela é a inversa de x^2 para x \ge 0, a função potência com expoente \frac{1}{2} e o exemplo clássico de uma função que é contínua em um ponto, mas não é diferenciável ali.

Fórmula

Por convenção, \sqrt{x} indica a raiz principal (não negativa), então \sqrt{9} = 3, e não \pm 3. Como consequência, \sqrt{x^2} = |x| para todo x real.

Gráfico da função raiz quadrada

Propriedades principais

• Domínio e imagem: ambos [0, \infty).
• Crescente em todo o domínio, já que sua derivada é positiva para x > 0.
• Concavidade para baixo: f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0 para x > 0, então ela cresce cada vez mais devagar.
• Contínua em 0 pela direita, com \lim_{x \to 0^+}\sqrt{x} = 0.
• Não diferenciável em 0, onde a reta tangente é vertical.
• Ilimitada, mas lenta: \sqrt{x} \to \infty quando x \to \infty, mais devagar que qualquer potência positiva x^p com p > \frac{1}{2}.
• Reflexo de uma parábola: o gráfico é a metade direita de y = x^2 refletida em relação à reta y = x.

Derivada de √x

Usando a regra da potência em x^{1/2}:

Com a regra da cadeia, isso vira o padrão geral

Integral de √x

Some um ao expoente (\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}) e divida por \frac{3}{2}, o que é o mesmo que multiplicar por \frac{2}{3}.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: reta tangente. Em x = 4, f(4) = 2 e f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}. A reta tangente é y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{1}{4}x + 1.

Exemplo 2: aproximação linear. Usando essa reta tangente, \sqrt{4.2} \approx \frac{1}{4}(4.2) + 1 = 2.05. O valor real é aproximadamente 2.0494. Veja aproximação linear.

Exemplo 3: regra da cadeia. \frac{d}{dx}\sqrt{3x + 1} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}.

Exemplo 4: integral definida. \int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}.

Exemplo 5: domínio. \sqrt{4 - x^2} exige 4 - x^2 \ge 0, então o domínio é [-2, 2]. Seu gráfico é a metade superior da circunferência x^2 + y^2 = 4.

Erros comuns

1. Separar a raiz de uma soma. \sqrt{x^2 + 9} \ne x + 3. Raízes se separam em produtos, \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} para a, b \ge 0, mas nunca em somas.
2. Escrever a derivada como \frac{1}{\sqrt{x}} ou 2\sqrt{x}. O fator é \frac{1}{2} e a raiz fica no denominador.
3. Integrar e obter \frac{3}{2}x^{3/2}. Divida por \frac{3}{2}; não multiplique.
4. Supor que \sqrt{x^2} = x. Ela é igual a |x|, o que importa quando x pode ser negativo.

Como tudo se conecta

Raízes quadradas aparecem no comprimento de arco, nas fórmulas de distância e em integrais de substituição trigonométrica como \int \sqrt{1 - x^2}\,dx. Elas fazem parte das funções potência, e \sqrt{x^2} = |x| as liga à função módulo.