Fonction racine carrée √x : courbe, domaine, dérivée et primitive

La fonction racine carrée f(x) = \sqrt{x} renvoie le nombre positif ou nul dont le carré vaut x. C'est la réciproque de x^2 sur x \ge 0, la fonction puissance d'exposant \frac{1}{2}, et l'exemple classique d'une fonction continue en un point mais non dérivable en ce point.

Formule

Par convention, \sqrt{x} désigne la racine principale (positive ou nulle), donc \sqrt{9} = 3, et non \pm 3. Par conséquent, \sqrt{x^2} = |x| pour tout réel x.

Courbe de la fonction racine carrée

Propriétés principales

• Domaine de définition et ensemble image : tous deux égaux à [0, \infty).
• Strictement croissante sur tout son domaine, puisque sa dérivée est positive pour x > 0.
• Concave : f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0 pour x > 0, donc elle croît de plus en plus lentement.
• Continue à droite en 0, avec \lim_{x \to 0^+}\sqrt{x} = 0.
• Non dérivable en 0, où la tangente est verticale.
• Non bornée mais lente : \sqrt{x} \to \infty quand x \to \infty, moins vite que toute puissance x^p avec p > \frac{1}{2}.
• Symétrique d'une parabole : la courbe est la moitié droite de y = x^2, réfléchie par rapport à la droite y = x.

Dérivée de √x

En appliquant la règle de la puissance à x^{1/2} :

Avec la règle de dérivation en chaîne, on obtient la formule générale

Primitive de √x

On ajoute un à l'exposant (\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}) et on divise par \frac{3}{2}, ce qui revient à multiplier par \frac{2}{3}.

Exemples corrigés

Exemple 1 : tangente. En x = 4, f(4) = 2 et f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}. La tangente a pour équation y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{1}{4}x + 1.

Exemple 2 : approximation affine. Avec cette tangente, \sqrt{4.2} \approx \frac{1}{4}(4.2) + 1 = 2.05. La valeur exacte est d'environ 2.0494. Voir l'approximation affine.

Exemple 3 : règle de dérivation en chaîne. \frac{d}{dx}\sqrt{3x + 1} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}.

Exemple 4 : intégrale définie. \int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}.

Exemple 5 : domaine de définition. \sqrt{4 - x^2} exige 4 - x^2 \ge 0, donc le domaine est [-2, 2]. Sa courbe est le demi-cercle supérieur du cercle x^2 + y^2 = 4.

Erreurs fréquentes

1. Couper une racine sur une somme. \sqrt{x^2 + 9} \ne x + 3. Les racines se séparent sur les produits, \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} pour a, b \ge 0, mais jamais sur les sommes.
2. Écrire la dérivée \frac{1}{\sqrt{x}} ou 2\sqrt{x}. Le facteur est \frac{1}{2} et la racine reste au dénominateur.
3. Obtenir \frac{3}{2}x^{3/2} en intégrant. Il faut diviser par \frac{3}{2}, pas multiplier.
4. Croire que \sqrt{x^2} = x. Cela vaut |x|, ce qui compte lorsque x peut être négatif.

Liens avec le reste du cours

Les racines carrées apparaissent dans la longueur d'arc, les formules de distance et les intégrales par changement de variable trigonométrique comme \int \sqrt{1 - x^2}\,dx. Elles font partie des fonctions puissances, et l'égalité \sqrt{x^2} = |x| les relie à la fonction valeur absolue.