Wurzelfunktion √x: Graph, Definitionsbereich, Ableitung und Integral

Die Wurzelfunktion f(x) = \sqrt{x} liefert die nichtnegative Zahl, deren Quadrat x ist. Sie ist die Umkehrfunktion von x^2 auf x \ge 0, die Potenzfunktion mit Exponent \frac{1}{2} und das Standardbeispiel für eine Funktion, die an einer Stelle stetig, aber dort nicht differenzierbar ist.

Formel

Nach Konvention bezeichnet \sqrt{x} die nichtnegative Wurzel (den Hauptwert), also \sqrt{9} = 3, nicht \pm 3. Daraus folgt \sqrt{x^2} = |x| für jedes reelle x.

Graph der Wurzelfunktion

Wichtige Eigenschaften

• Definitions- und Wertebereich: beide [0, \infty).
• Streng monoton steigend auf dem ganzen Definitionsbereich, da die Ableitung für x > 0 positiv ist.
• Rechtsgekrümmt: f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0 für x > 0, sie wächst also immer langsamer.
• Stetig bei 0 von rechts, mit \lim_{x \to 0^+}\sqrt{x} = 0.
• Nicht differenzierbar bei 0, dort ist die Tangente senkrecht.
• Unbeschränkt, aber langsam: \sqrt{x} \to \infty für x \to \infty, langsamer als jede Potenz x^p mit p > \frac{1}{2}.
• Spiegelbild einer Parabel: Der Graph ist die rechte Hälfte von y = x^2, gespiegelt an der Geraden y = x.

Ableitung von √x

Mit der Potenzregel für x^{1/2}:

Mit der Kettenregel ergibt sich das allgemeine Muster

Integral von √x

Erhöhe den Exponenten um eins (\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}) und teile durch \frac{3}{2}, was dasselbe ist wie die Multiplikation mit \frac{2}{3}.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Tangente. Bei x = 4 ist f(4) = 2 und f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}. Die Tangente lautet y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{1}{4}x + 1.

Beispiel 2: lineare Approximation. Mit dieser Tangente gilt \sqrt{4.2} \approx \frac{1}{4}(4.2) + 1 = 2.05. Der wahre Wert ist etwa 2.0494. Siehe lineare Approximation.

Beispiel 3: Kettenregel. \frac{d}{dx}\sqrt{3x + 1} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}.

Beispiel 4: bestimmtes Integral. \int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}.

Beispiel 5: Definitionsbereich. \sqrt{4 - x^2} erfordert 4 - x^2 \ge 0, der Definitionsbereich ist also [-2, 2]. Der Graph ist die obere Hälfte des Kreises x^2 + y^2 = 4.

Häufige Fehler

1. Eine Wurzel über eine Summe aufteilen. \sqrt{x^2 + 9} \ne x + 3. Wurzeln lassen sich bei Produkten aufteilen, \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} für a, b \ge 0, aber niemals bei Summen.
2. Die Ableitung als \frac{1}{\sqrt{x}} oder 2\sqrt{x} schreiben. Der Faktor ist \frac{1}{2}, und die Wurzel bleibt im Nenner.
3. Zu \frac{3}{2}x^{3/2} integrieren. Teile durch \frac{3}{2}, multipliziere nicht damit.
4. \sqrt{x^2} = x annehmen. Es gilt |x|, und das ist wichtig, wenn x negativ sein kann.

Zusammenhänge

Wurzeln tauchen bei der Bogenlänge, in Abstandsformeln und in Integralen der trigonometrischen Substitution wie \int \sqrt{1 - x^2}\,dx auf. Sie gehören zu den Potenzfunktionen, und \sqrt{x^2} = |x| verbindet sie mit der Betragsfunktion.