Integral de 2ˣ y aˣ: fórmula, pasos y ejemplos
La integral de 2ˣ es 2ˣ/ln 2 + C, y ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C. La deducción a partir de e^(x ln a), una gráfica, integrales definidas y ejemplos.
Integrales exponenciales y logarítmicas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- \dfrac{2^x}{\ln 2} + C
- Base general
- \int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C para a > 0, a \ne 1
- Método
- Escribe a^x = e^{x\ln a} y luego divide entre \ln a
- De 0 a 1
- \frac{1}{\ln 2} \approx 1.443
- Valor de ln 2
- \approx 0.6931
En esta página
La integral de 2^x es \dfrac{2^x}{\ln 2} + C. Todas las exponenciales a^x se integran igual: conserva la exponencial y divide entre el logaritmo natural de la base.
La fórmula general vale para cualquier base a > 0 con a \ne 1.
Gráfica de 2ˣ con el área de 0 a 1
Cómo integrar 2ˣ paso a paso
El truco es pasar a base e, ya que ya sabes integrar exponenciales de base e.
- Reescribe en base e. Como 2 = e^{\ln 2}, tenemos 2^x = \left(e^{\ln 2}\right)^x = e^{x\ln 2}.
- Integra. \ln 2 es simplemente una constante, aproximadamente 0.693. Usando \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C de la página de la integral de e²ˣ: \int e^{x\ln 2}\,dx = \frac{1}{\ln 2}e^{x\ln 2} + C
- Vuelve a base 2. e^{x\ln 2} = 2^x, así que el resultado es \frac{2^x}{\ln 2} + C.
Cambia 2 por a en todas partes y obtendrás la fórmula general. La base debe ser positiva para que \ln a esté definido, y a \ne 1 para que \ln a \ne 0. (Para a = 1, 1^x = 1 y \int 1\,dx = x + C.)
Comprobación derivando
La derivada de 2ˣ es 2^x\ln 2. Por tanto
Integrales definidas
| Integral | Cálculo | Valor |
|---|---|---|
| \int_0^1 2^x\,dx | \frac{2 - 1}{\ln 2} | \approx 1.443 |
| \int_0^3 2^x\,dx | \frac{8 - 1}{\ln 2} | \approx 10.099 |
| \int_0^2 3^x\,dx | \frac{9 - 1}{\ln 3} | \approx 7.282 |
| \int_{-\infty}^{0} 2^x\,dx | \frac{1 - 0}{\ln 2} | \approx 1.443 |
Compara la segunda fila con una suma: 2^0 + 2^1 + 2^2 = 7. La integral \frac{7}{\ln 2} es mayor porque el área incluye la subida de la curva entre los enteros. Este contraste entre sumas e integrales vuelve a aparecer en el criterio de la integral.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: base 10. \displaystyle\int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C \approx 0.434\cdot 10^x + C.
Ejemplo 2: un exponente lineal. \displaystyle\int 2^{3x}\,dx. Sea u = 3x, du = 3\,dx:
También podrías escribir 2^{3x} = 8^x y obtener \frac{8^x}{\ln 8}. Como \ln 8 = 3\ln 2, los resultados coinciden.
Ejemplo 3: una fracción como base. \displaystyle\int\left(\frac{1}{2}\right)^x dx = \frac{(1/2)^x}{\ln(1/2)} + C = -\frac{2^{-x}}{\ln 2} + C.
Ejemplo 4: combinar bases. \displaystyle\int 2^x 3^x\,dx = \int 6^x\,dx = \frac{6^x}{\ln 6} + C.
Ejemplo 5: un cambio de variable. \displaystyle\int x\,2^{x^2}\,dx. Con u = x^2, du = 2x\,dx:
Errores comunes
- Usar la regla de la potencia. \int 2^x\,dx \ne \frac{2^{x+1}}{x+1}. Compárala con \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}, donde la variable está en la base; consulta la integral de x².
- Multiplicar por \ln 2 en lugar de dividir. Multiplicar es lo que hace la derivada. La integral divide.
- Usar \log_{10}. La fórmula necesita el logaritmo natural. \int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10}, no \frac{10^x}{\log 10} = \frac{10^x}{1}.
- Aplicarla a x^x. Cuando la variable está a la vez en la base y en el exponente, no sirve ninguna de las dos reglas, y \int x^x\,dx no tiene resultado elemental.
Consulta la página de funciones exponenciales para saber más sobre las bases, y la integral de eˣ para el caso particular a = e.
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Seno, coseno, eˣ y 1/x
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