Integral de ln x: fórmula, pasos y ejemplos
La integral de ln x es x ln x − x + C. Los pasos de la integración por partes, la comprobación derivando, una gráfica y ejemplos como ln(2x) y (ln x)².
Integrales exponenciales y logarítmicas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- x\ln x - x + C
- Método
- Integración por partes con u = \ln x, dv = dx
- De 1 a e
- 1
- De 0 a 1
- -1 (impropia, converge)
- Logaritmo en base b
- \int \log_b x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C
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La integral de \ln x es x\ln x - x + C. No hay ninguna regla inversa que deshaga directamente el logaritmo, así que el método habitual es la integración por partes con un factor 1 escondido.
Gráfica de ln x y su antiderivada
Cómo integrar ln x paso a paso
Usa la integración por partes, \int u\,dv = uv - \int v\,du.
- Escribe \ln x como un producto. \int\ln x\,dx = \int \ln x\cdot 1\,dx.
- Elige las partes. u = \ln x y dv = dx. Entonces du = \frac{1}{x}\,dx y v = x.
- Aplica la fórmula. \int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx
- Termina. \int 1\,dx = x, así que el resultado es x\ln x - x + C.
¿Por qué funciona? Al derivar \ln x se convierte en \frac{1}{x}, que cancela la x de v. En el orden LIATE los logaritmos van primero, así que casi siempre hacen de u. La guía de integración por partes explica más sobre cómo elegir u.
Comprobación derivando
Por la regla del producto y la derivada de ln x:
Integrales definidas
De 1 a e:
De 1 a 2: (2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2\ln 2 - 1 \approx 0.386.
De 0 a 1: es una integral impropia, ya que \ln x \to -\infty cerca de 0. Usando el límite x\ln x \to 0 cuando x \to 0^+:
El resultado es negativo porque \ln x < 0 en (0, 1), así que el área queda por debajo del eje.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una constante dentro. \int\ln(2x)\,dx. Sea u = 2x, dx = \frac{du}{2}:
Ejemplo 2: un logaritmo desplazado. \int\ln(x+1)\,dx. Sea u = x + 1, du = dx:
El -1 se puede absorber en C, así que (x+1)\ln(x+1) - x + C también es correcto.
Ejemplo 3: un logaritmo al cuadrado. \int(\ln x)^2\,dx. Toma u = (\ln x)^2, dv = dx, de modo que du = \frac{2\ln x}{x}\,dx y v = x:
Ejemplo 4: una potencia de x dentro. \int\ln(x^3)\,dx = 3\int\ln x\,dx = 3x\ln x - 3x + C, tras aplicar la propiedad \ln(x^3) = 3\ln x.
Ejemplo 5: base 10. Como \log_{10}x = \frac{\ln x}{\ln 10}, \int\log_{10}x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln 10} + C.
Errores comunes
- Responder \frac{1}{x}. Esa es la derivada de \ln x. La integral de \frac{1}{x} es \ln\lvert x\rvert; consulta la integral de 1/x.
- Elegir u = 1, dv = \ln x\,dx. Entonces necesitas \int\ln x\,dx para hallar v, justo lo que intentas calcular.
- Perder el -x. x\ln x solo tiene derivada \ln x + 1, que sobra en uno.
- Confundir \ln x con \frac{\ln x}{x}. \int\frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C es un cambio de variable, no un problema de partes.
Para un logaritmo por una potencia de x, consulta la integral de x ln x. Para logaritmos en el denominador, consulta la integral de 1/(x ln x).
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