Integral de arcsen x: fórmula, pasos y ejemplos

La integral de \arcsin x es x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C. Igual que \ln x y \arctan x, no tiene una regla inversa directa, así que se integra por partes usando un factor 1.

Gráfica de arcsen x con el área de 0 a 1

Cómo integrar arcsen x paso a paso

Usa la integración por partes, \int u\,dv = uv - \int v\,du.

1. Elige las partes. u = \arcsin x y dv = dx, así que du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx y v = x.
2. Aplica la fórmula. \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx
3. Resuelve la integral que queda con w = 1 - x^2, dw = -2x\,dx: \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^2} + C
4. Junta todo. Restar un negativo da un más: \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C

Comprobación derivando

Las dos fracciones se cancelan y solo queda \arcsin x. Aquí se usa la derivada de arcsen x, \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Integrales definidas

De 0 a 1:

La gráfica da el mismo resultado sin ninguna antiderivada. La región bajo y = \arcsin x y la región a su izquierda (entre la curva y el eje y) llenan un rectángulo de área \frac{\pi}{2}. La región de la izquierda es el área bajo x = \sin y para 0 \le y \le \frac{\pi}{2}, que vale 1.

De 0 a 1/2:

De −1 a 1: \arcsin x es impar, así que la integral es 0.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: arccos x. El mismo planteamiento por partes, pero con du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx:

Como comprobación, al sumar los resultados de arcsen y arccos se obtiene x\left(\arcsin x + \arccos x\right) = \frac{\pi}{2}x, que es la integral de la constante \frac{\pi}{2}.

Ejemplo 2: un argumento escalado. \int\arcsin\frac{x}{2}\,dx. Sea u = \frac{x}{2}, dx = 2\,du:

Aquí 2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{4 - x^2}.

Ejemplo 3: primero un cambio de variable. \int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx no es un problema de partes. Con u = \arcsin x, du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, así que el resultado es \frac{1}{2}(\arcsin x)^2 + C.

Errores comunes

1. Un error de signo en la integral que queda. \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx es -\sqrt{1-x^2}, así que el resultado final lleva +\sqrt{1-x^2}. Al derivar se detecta enseguida.
2. Leer \sin^{-1}x como \frac{1}{\sin x}. El inverso multiplicativo es \csc x, otra función; consulta la integral de csc x.
3. Usar partes cuando hay un cambio de variable a la vista. Si \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ya está junto a \arcsin x, haz el cambio de variable.
4. Ignorar el dominio. \arcsin x solo existe para -1 \le x \le 1, así que una integral definida debe quedarse dentro de ese intervalo.

Para obtener arcsen como resultado, consulta la integral de 1/√(1−x²). La página del arcoseno tiene más sobre la función, y la integral de arctan x usa el mismo método.