Integral von arcsin x: Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von \arcsin x ist x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C. Wie bei \ln x und \arctan x gibt es keine direkte Umkehrregel, also integrierst du partiell mit einem Faktor 1.

Graph von arcsin x mit der Fläche von 0 bis 1

arcsin x Schritt für Schritt integrieren

Verwende partielle Integration, \int u\,dv = uv - \int v\,du.

1. Die Teile wählen. u = \arcsin x und dv = dx, also du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx und v = x.
2. Die Formel anwenden. \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx
3. Das verbleibende Integral lösen mit w = 1 - x^2, dw = -2x\,dx: \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^2} + C
4. Zusammensetzen. Minus mal minus ergibt plus: \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C

Probe durch Ableiten

Die beiden Brüche heben sich auf, übrig bleibt nur \arcsin x. Hier wird die Ableitung von arcsin x verwendet, \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Bestimmte Integrale

Von 0 bis 1:

Der Graph liefert dasselbe Ergebnis ganz ohne Stammfunktion. Die Fläche unter y = \arcsin x und die Fläche links davon (zwischen Kurve und y-Achse) füllen zusammen ein Rechteck mit dem Inhalt \frac{\pi}{2}. Die linke Fläche ist die Fläche unter x = \sin y für 0 \le y \le \frac{\pi}{2}, und die ist 1.

Von 0 bis 1/2:

Von −1 bis 1: \arcsin x ist ungerade, also ist das Integral 0.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: arccos x. Derselbe Ansatz, aber du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx:

Zur Kontrolle: Die Summe der Ergebnisse für arcsin und arccos ist x\left(\arcsin x + \arccos x\right) = \frac{\pi}{2}x, also das Integral der Konstanten \frac{\pi}{2}.

Beispiel 2: ein skaliertes Argument. \int\arcsin\frac{x}{2}\,dx. Setze u = \frac{x}{2}, dx = 2\,du:

Dabei ist 2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{4 - x^2}.

Beispiel 3: zuerst substituieren. \int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx ist kein Fall für partielle Integration. Mit u = \arcsin x, du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, ist das Ergebnis \frac{1}{2}(\arcsin x)^2 + C.

Häufige Fehler

1. Ein Vorzeichenfehler im verbleibenden Integral. \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx ist -\sqrt{1-x^2}, das Endergebnis enthält also +\sqrt{1-x^2}. Durch Ableiten fällt das sofort auf.
2. \sin^{-1}x als \frac{1}{\sin x} lesen. Der Kehrwert ist \csc x, eine andere Funktion; siehe Integral von csc x.
3. Partiell integrieren, obwohl eine Substitution da ist. Steht \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} schon neben \arcsin x, substituierst du.
4. Den Definitionsbereich ignorieren. \arcsin x existiert nur für -1 \le x \le 1, ein bestimmtes Integral muss also in diesem Intervall bleiben.

Wie man arcsin als Ergebnis erhält, zeigt das Integral von 1/√(1−x²). Die Seite zum Arkussinus erklärt die Funktion selbst, und das Integral von arctan x verwendet dieselbe Methode.