Integral de csc x: fórmula, deducción y ejemplos

La integral de \csc x es -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C. Es la gemela con cosecante de la integral de sec x, y se deduce con el mismo truco.

Gráfica de csc x y el área bajo ella

Deducción paso a paso

1. Multiplica por \frac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x}: \int\csc x\,dx = \int\frac{\csc^2 x + \csc x\cot x}{\csc x + \cot x}\,dx
2. Sea u = \csc x + \cot x. Usando la derivada de csc x y la derivada de cot x: du = (-\csc x\cot x - \csc^2 x)\,dx = -(\csc^2 x + \csc x\cot x)\,dx
3. Así que el numerador es -du, y la integral es \int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C.
4. Deshaz el cambio: -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C.

Por qué las tres formas son iguales

Primero, (\csc x + \cot x)(\csc x - \cot x) = \csc^2 x - \cot^2 x = 1. Por tanto

Segundo, \csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x}, y la identidad del ángulo mitad dice que \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \tan\frac{x}{2}. Eso da \ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert.

Comprobación derivando

Usa la forma \ln\lvert\csc x - \cot x\rvert:

Integrales definidas

En x = \frac{\pi}{2}: \csc - \cot = 1 - 0 = 1, así que la antiderivada vale \ln 1 = 0. En x = \frac{\pi}{3}: \csc - \cot = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}. Por tanto

La integral desde 0 hasta cualquier punto diverge, porque \csc x tiene una asíntota vertical en x = 0 y \ln\tan\frac{x}{2} \to -\infty.

Variantes por sustitución

Ejemplo 1. \int\csc(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\csc 3x - \cot 3x\rvert + C.

Ejemplo 2. \int\frac{dx}{2\sin x\cos x} = \int\frac{dx}{\sin 2x} = \int\csc(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\tan x\rvert + C, usando la forma del ángulo mitad con \frac{2x}{2} = x.

Ejemplo 3. \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx se parece, pero es la integral de cot x, que vale \ln\lvert\sin x\rvert + C.

Errores comunes

1. Responder -\csc x\cot x. Esa es la derivada de \csc x.
2. Perder el signo menos delante de \ln\lvert\csc x + \cot x\rvert. Su derivada sería entonces -\csc x.
3. Mezclar las formas. -\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert es incorrecto: el signo menos va con el más del interior, y viceversa.
4. Responder -\cot x. Esa es la integral de \csc^2 x, no de \csc x.

Practica con los ejercicios de integrales trigonométricas.