Integral de arcsen x: fórmula, passo a passo e exemplos

A integral de \arcsin x é x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C. Assim como \ln x e \arctan x, ela não tem uma regra inversa direta, então você a integra por partes usando um fator 1.

Gráfico de arcsen x com a área de 0 a 1

Como integrar arcsen x passo a passo

Use a integração por partes, \int u\,dv = uv - \int v\,du.

1. Escolha as partes. u = \arcsin x e dv = dx, então du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx e v = x.
2. Aplique a fórmula. \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx
3. Resolva a integral que sobrou com w = 1 - x^2, dw = -2x\,dx: \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^2} + C
4. Junte. Subtrair um negativo dá um positivo: \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C

Verificação por derivação

As duas frações se cancelam, e sobra só \arcsin x. Isso usa a derivada de arcsen x, \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Integrais definidas

De 0 a 1:

O gráfico dá a mesma resposta sem nenhuma primitiva. A região sob y = \arcsin x mais a região à sua esquerda (entre a curva e o eixo y) preenchem um retângulo de área \frac{\pi}{2}. A região da esquerda é a área sob x = \sin y para 0 \le y \le \frac{\pi}{2}, que vale 1.

De 0 a 1/2:

De −1 a 1: \arcsin x é ímpar, então a integral é 0.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: arccos x. Mesma montagem por partes, mas du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx:

Como verificação, somar os resultados do arcsen e do arccos dá x\left(\arcsin x + \arccos x\right) = \frac{\pi}{2}x, que é a integral da constante \frac{\pi}{2}.

Exemplo 2: uma entrada multiplicada. \int\arcsin\frac{x}{2}\,dx. Seja u = \frac{x}{2}, dx = 2\,du:

Aqui 2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{4 - x^2}.

Exemplo 3: substituição antes de tudo. \int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx não é um problema de partes. Com u = \arcsin x, du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}, então a resposta é \frac{1}{2}(\arcsin x)^2 + C.

Erros comuns

1. Um erro de sinal na integral que sobra. \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx é -\sqrt{1-x^2}, então a resposta final tem +\sqrt{1-x^2}. Derivar pega esse erro na hora.
2. Ler \sin^{-1}x como \frac{1}{\sin x}. O inverso multiplicativo é \csc x, outra função; veja a integral de cossec x.
3. Usar partes quando há uma substituição à vista. Se \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} já está ao lado de \arcsin x, substitua.
4. Ignorar o domínio. \arcsin x só existe para -1 \le x \le 1, então uma integral definida tem de ficar dentro desse intervalo.

Para obter o arcsen como resposta, veja a integral de 1/√(1−x²). A página do arco seno traz mais sobre a função em si, e a integral de arctg x usa o mesmo método.