Sommes de Riemann : rectangles à gauche, à droite et au milieu

Calculer l'aire d'un rectangle est facile. Calculer l'aire sous une courbe comme y = x^2 ne l'est pas, car le bord supérieur est courbe. Les sommes de Riemann résolvent ce problème en remplissant la région de rectangles fins et en les additionnant, et c'est sur cette idée que repose toute l'intégrale définie.

Qu'est-ce qu'une somme de Riemann ?

Une somme de Riemann est une estimation de l'aire sous y = f(x) sur un intervalle [a, b], faite de rectangles :

1. On découpe [a, b] en n morceaux égaux, chacun de largeur

2. Dans chaque morceau, on choisit un point x_i^* et on prend f(x_i^*) comme hauteur du rectangle.
3. On additionne les aires, hauteur fois largeur :

Le seul choix à faire est où prendre la hauteur dans chaque morceau. Ce choix donne les trois méthodes classiques.

Sommes de Riemann à gauche, à droite et au point milieu

Avec x_0 = a, x_1 = a + \Delta x, x_2 = a + 2\Delta x, et ainsi de suite jusqu'à x_n = b :

Remarquez que la somme à gauche utilise tous les points sauf le dernier, et la somme à droite tous les points sauf le premier.

Exemple corrigé 1 : aire sous y = x² de 0 à 2

Estimez \int_0^2 x^2\,dx avec n = 4 par les sommes à gauche, à droite et au point milieu.

Étape 1. Largeur. \Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5. Les points de subdivision sont 0, 0.5, 1, 1.5, 2.

Étape 2. Somme à gauche. Hauteurs en 0, 0.5, 1, 1.5 :

Étape 3. Somme à droite. Hauteurs en 0.5, 1, 1.5, 2 :

Étape 4. Somme au point milieu. Milieux 0.25, 0.75, 1.25, 1.75 :

L'aire exacte (que nous confirmerons plus bas) vaut \frac{8}{3} \approx 2.667. La somme à gauche est bien trop basse, la somme à droite bien trop haute, et la somme au point milieu ne se trompe que de 0.04.

Par excès ou par défaut ?

Sur une fonction croissante comme x^2 sur [0, 2], l'extrémité gauche de chaque morceau est le point le plus bas, donc chaque rectangle à gauche est sous la courbe : les sommes à gauche donnent une estimation par défaut. L'extrémité droite est le point le plus haut, donc les sommes à droite donnent une estimation par excès. Pour une fonction décroissante, on inverse les deux.

La méthode du point milieu dépend plutôt de la convexité. Sur une courbe convexe comme x^2, la somme au point milieu est une estimation par défaut (de peu), et sur une courbe concave, une estimation par excès.

La moyenne des sommes à gauche et à droite donne la méthode des trapèzes : \frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75. Sur une courbe convexe, la méthode des trapèzes donne une estimation par excès, donc la vraie valeur se trouve entre l'estimation au point milieu et celle des trapèzes : 2.625 < \frac{8}{3} < 2.75.

Exemple corrigé 2 : une fonction décroissante

Estimez \int_1^3 \frac{1}{x}\,dx avec n = 4 par les trois méthodes.

Étape 1. Largeur. \Delta x = \frac{3 - 1}{4} = 0.5. Points de subdivision : 1, 1.5, 2, 2.5, 3.

Étape 2. Somme à gauche. Hauteurs f(1) = 1, f(1.5) \approx 0.6667, f(2) = 0.5, f(2.5) = 0.4 :

Étape 3. Somme à droite. Hauteurs en 1.5, 2, 2.5, 3 :

Étape 4. Somme au point milieu. Les milieux 1.25, 1.75, 2.25, 2.75 donnent les hauteurs 0.8, 0.5714, 0.4444, 0.3636 :

La valeur exacte est \ln 3 \approx 1.0986. Cette fois, la fonction est décroissante, donc la somme à gauche est trop grande et la somme à droite trop petite : l'inverse de l'exemple 1. La courbe est convexe, donc la somme au point milieu est de nouveau légèrement trop basse.

Exemple corrigé 3 : sommes de Riemann à partir d'un tableau

La vitesse d'une voiture est relevée chaque seconde :

Estimez la distance parcourue entre t = 0 et t = 4.

La distance est l'aire sous la courbe de la vitesse, et \Delta t = 1.

Somme à gauche : 1 \cdot (0 + 4 + 7 + 9) = 20 m.

Somme à droite : 1 \cdot (4 + 7 + 9 + 10) = 30 m.

Dans le tableau, la vitesse ne fait qu'augmenter, donc (en supposant qu'elle augmente aussi entre les relevés) la vraie distance est comprise entre 20 et 30 mètres. On ne peut pas utiliser ici une somme au point milieu avec n = 4, car le tableau n'a pas de relevés en t = 0.5, 1.5, \ldots. Avec n = 2, c'est possible : les milieux t = 1 et t = 3 donnent 2 \cdot (4 + 9) = 26 m.

Écrire les sommes de Riemann avec la notation sigma

Pour une somme à droite sur [a, b] avec n morceaux, les points choisis sont x_i = a + i\,\Delta x, donc

Pour les sommes à gauche, remplacez i par i - 1 ; pour les milieux, par i - \frac{1}{2}.

Exemple corrigé 4 : l'aire exacte comme limite

Calculez \int_0^2 x^2\,dx comme limite des sommes à droite.

Étape 1. Mise en place. \Delta x = \frac{2}{n} et x_i = \frac{2i}{n}, donc f(x_i) = \frac{4i^2}{n^2}.

Étape 2. Écrire la somme.

Étape 3. Utiliser la formule de la somme des carrés \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} :

Étape 4. Passer à la limite. Quand n \to \infty, les deux termes \frac{1}{n} tendent vers 0 :

L'aire exacte vaut donc \frac{8}{3}. Avec n = 4, la formule donne \frac{4}{3}(1.25)(2.25) = 3.75, ce qui correspond à l'exemple corrigé 1.

Des sommes de Riemann à l'intégrale définie

Le calcul ci-dessus est exactement la façon dont l'intégrale définie est définie :

La notation reflète même la somme : \int est un « S » étiré pour « somme », f(x) est la hauteur, et dx est la largeur infiniment fine. Là où f est négative, les rectangles ont une hauteur négative, donc l'intégrale mesure une aire algébrique : l'aire au-dessus de l'axe compte positivement et l'aire en dessous négativement.

Calculer une limite de sommes à chaque fois serait pénible. Le théorème fondamental de l'analyse montre qu'on peut s'en passer : \int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}, à l'aide des primitives. Les sommes de Riemann restent la méthode pour approcher des intégrales à partir de données ou de fonctions sans primitive simple.

Erreurs fréquentes avec les sommes de Riemann

1. Utiliser n + 1 hauteurs. Avec n = 4, il y a 5 points de subdivision mais seulement 4 rectangles. Une somme à gauche laisse de côté le dernier point ; une somme à droite, le premier.
2. Oublier de multiplier par \Delta x. Additionner les hauteurs donne 7.5 dans l'exemple 1, et non l'aire 3.75.
3. Se tromper de milieux. Le milieu de [1, 1.5] est 1.25. Calculez f(1.25), pas la moyenne de f(1) et f(1.5) (ça, c'est la méthode des trapèzes).
4. Largeurs inégales dans un tableau. Si les données ne sont pas régulièrement espacées, chaque rectangle a sa propre largeur. N'utilisez pas un seul \Delta x.
5. Confondre excès et défaut. La croissance ou la décroissance tranche pour les sommes à gauche et à droite ; la convexité tranche pour le point milieu et les trapèzes.

Entraînez-vous avec les rectangles

Les sommes de Riemann récompensent une routine régulière : trouver \Delta x, lister les points choisis, évaluer, additionner, multiplier. La leçon interactive ci-dessous vous permet de construire des sommes à gauche, à droite et au point milieu avec une correction immédiate, pour voir exactement quelle hauteur ou quelle largeur s'est trompée et la corriger à l'essai suivant.