MEU201 Analyse 2 Paris-Saclay : programme, guide et exercices

MEU201 Analyse 2 est l'UE d'analyse du premier semestre de L2 Mathématiques à l'Université Paris-Saclay. Après l'intégration et les développements limités de L1, elle s'attaque à deux questions jumelles : quand une somme infinie converge-t-elle, et quand une intégrale sur un domaine non borné a-t-elle un sens ? Ce guide relie chaque notion à des exercices interactifs, avec une correction immédiate.

Ce que couvre MEU201

Selon le syllabus du département de mathématiques d'Orsay, l'UE est une introduction à l'étude des séries et des intégrales généralisées. Elle commence par les notations petit o et les équivalents, puis les suites adjacentes et les suites de Cauchy, la complétude de \mathbb{R} servant d'outil pour les preuves de convergence.

La partie séries couvre le vocabulaire (somme, somme partielle, reste, série géométrique, somme télescopique), les séries à termes positifs avec les règles de d'Alembert et de Cauchy, les théorèmes de comparaison et d'équivalence, la comparaison série-intégrale, la convergence absolue, les séries alternées, la transformation d'Abel et la sommation des relations de comparaison. La partie intégrales généralisées suit le même plan : convergence, critère de Cauchy, fonctions positives, comparaison et équivalence, intégrales de Riemann et de Bertrand, convergence absolue, règle d'Abel et intégration des relations de comparaison.

Dans une séquence nord-américaine, c'est l'équivalent des chapitres intégrales impropres et séries d'un Calcul 2, traités avec la rigueur d'un cours d'analyse.

Plan des notions de MEU201

MEU201 dans le parcours

Les équivalents et développements limités vus en MEU151 sont l'outil principal de MEU201. Pour les bases sur les suites, voir MEU101.

Exemples d'exercices au niveau de MEU201

1. Série par équivalent. Pour u_n = \ln\left(1 + \frac{1}{n^2}\right), on a u_n \sim \frac{1}{n^2} et les deux suites sont positives. Comme \sum \frac{1}{n^2} converge, \sum u_n converge.

2. Règle de d'Alembert. Pour u_n = \frac{n^2}{2^n} :

donc la série converge.

3. Intégrale de Riemann.

Elle converge car \frac{3}{2} > 1 ; en revanche \int_1^\infty \frac{dx}{x} diverge.

Comment réussir MEU201

• Mémorisez les familles de référence : séries et intégrales de Riemann, séries géométriques, intégrales de Bertrand. Presque tout se ramène à elles par comparaison.
• Suivez toujours le même ordre : terme général, signe, équivalent, comparaison, puis d'Alembert ou Cauchy. La leçon Choisir un critère entraîne cette démarche.
• Pratiquez régulièrement avec nos exercices et gardez le formulaire à portée de main.
• Attention aux équivalents : ils ne fonctionnent que pour des séries à termes de signe constant. Voir les erreurs fréquentes en calcul.

Astuce : devant \sum f(n) avec f positive et décroissante, pensez à la comparaison série-intégrale : la série et \int_1^\infty f ont la même nature.