Dérivée de |x| : formule, démonstration et exemples

La dérivée de \lvert x\rvert est \dfrac{x}{\lvert x\rvert}. Concrètement, la pente vaut 1 à droite de 0, -1 à gauche de 0, et il n'y a pas de pente en 0 lui-même.

Courbe de |x| et de sa dérivée

Démonstration, morceau par morceau

On sépare \lvert x\rvert en ses deux morceaux. Pour x > 0, \lvert x\rvert = x, donc la dérivée vaut 1. Pour x < 0, \lvert x\rvert = -x, donc la dérivée vaut -1. Dans les deux cas, la réponse est égale à \frac{x}{\lvert x\rvert} : diviser un nombre par sa valeur absolue donne simplement son signe.

Pourquoi il n'y a pas de dérivée en 0

Regardons le taux d'accroissement en x = 0 :

À droite (h > 0), il vaut 1. À gauche (h < 0), il vaut -1. Les limites à gauche et à droite diffèrent, donc la limite n'existe pas. La courbe présente un point anguleux, et aucune tangente unique ne lui correspond. C'est l'exemple type de la leçon sur la dérivabilité.

On peut aussi écrire le résultat sous la forme \frac{d}{dx}\lvert x\rvert = \frac{x}{\sqrt{x^2}}, puisque \lvert x\rvert = \sqrt{x^2}. Dériver \sqrt{x^2} avec la règle de dérivation en chaîne donne \frac{2x}{2\sqrt{x^2}}, la même formule.

La version composée : dérivée de |u|

Exemple 1. \frac{d}{dx}\lvert 3x\rvert = \frac{3x}{\lvert 3x\rvert}\cdot 3, qui vaut 3 pour x > 0 et -3 pour x < 0.

Exemple 2. \frac{d}{dx}\lvert x^2 - 4\rvert = \frac{(x^2 - 4)\cdot 2x}{\lvert x^2 - 4\rvert}. Pour \lvert x\rvert > 2, cela donne 2x. Pour \lvert x\rvert < 2, cela donne -2x. En x = \pm 2, la courbe a des points anguleux et pas de dérivée.

Exemple 3. \frac{d}{dx}\lvert\sin x\rvert = \frac{\sin x\cos x}{\lvert\sin x\rvert}, non définie partout où \sin x = 0.

Une fonction construite à partir de |x| qui est dérivable

Multiplier par x adoucit le point anguleux. Prenons f(x) = x\lvert x\rvert. Pour x > 0, elle vaut x^2, pour x < 0, elle vaut -x^2, donc f'(x) = 2\lvert x\rvert. En 0, le taux d'accroissement vaut \frac{h\lvert h\rvert}{h} = \lvert h\rvert \to 0, donc f'(0) = 0 existe. Cette fonction f est aussi une primitive de 2\lvert x\rvert, et c'est ainsi qu'on trouve l'intégrale de |x|.

Erreurs fréquentes

1. Répondre \lvert 1\rvert = 1. La dérivée ne vaut pas 1 partout. À gauche, elle vaut -1.
2. Affirmer f'(0) = 0. Le point anguleux n'a pas de tangente, donc la dérivée en 0 n'existe pas.
3. Croire que continue signifie dérivable. \lvert x\rvert est continue en 0 mais n'y a pourtant pas de dérivée.

Pour la fonction elle-même, consultez la page de la fonction valeur absolue.