Dérivée d'une constante : formule, démonstration et exemples
La dérivée d'une constante vaut 0. Démonstration par la limite, puis cas pièges comme π², e³, ln 5 et les constantes multipliées par une fonction.
Puissances, racines et polynômes Mis à jour Lecture : 2 min
En bref
- Dérivée
- 0 pour toute constante c
- Courbe
- Une droite horizontale, de pente 0
- Constante ajoutée
- \dfrac{d}{dx}\big(f(x) + c\big) = f'(x)
- Constante multipliée
- \dfrac{d}{dx}\big(c\,f(x)\big) = c\,f'(x)
- Version intégrale
- \int c\,dx = cx + C
Sur cette page
La dérivée d'une constante est 0. Si f(x) = c pour un nombre fixe c, alors f'(x) = 0 pour tout x.
Courbe d'une constante et de sa dérivée
Démonstration par la définition avec une limite
Pour f(x) = c, f(x + h) et f(x) valent tous deux c :
Le numérateur vaut exactement 0 pour tout h \ne 0, donc la limite vaut 0. C'est la règle de la dérivée d'une constante.
On peut aussi le voir avec la règle de la puissance : c = c\,x^0, et \frac{d}{dx}\,x^0 = 0 \cdot x^{-1} = 0.
Repérer les constantes déguisées
La difficulté n'est pas la règle, c'est de reconnaître une constante. Tout ce qui ne contient pas la variable est une constante, quelle que soit son apparence.
| Expression | Constante ? | Dérivée par rapport à x |
|---|---|---|
| 7 | oui | 0 |
| \pi^2 | oui | 0 |
| e^3 | oui | 0 |
| \ln 5 | oui | 0 |
| \sin\frac{\pi}{6} | oui, elle vaut \frac{1}{2} | 0 |
| a^2 + b (lettres autres que x) | oui, si elles ne dépendent pas de x | 0 |
| e^x | non | e^x |
Constantes ajoutées ou constantes multipliées
Une constante ajoutée disparaît :
Une constante multipliée reste, d'après la règle du produit par une constante :
La raison est géométrique. Ajouter 10 décale la courbe vers le haut, ce qui ne change aucune pente. Multiplier par 10 étire la courbe, ce qui rend chaque pente 10 fois plus forte.
Exemples corrigés
Exemple 1. \frac{d}{dx}\left(4x^3 - 2x + \pi\right) = 12x^2 - 2.
Exemple 2. \frac{d}{dx}\left(e^2 x\right) = e^2. Ici, e^2 multiplie x, donc il reste, et la dérivée de x vaut 1.
Exemple 3. \frac{d}{dx}\left(\ln 3 + \ln x\right) = \frac{1}{x}. Le \ln 3 est une constante. Voir la dérivée de ln x.
Exemple 4 : d'autres variables. Dans \frac{d}{dx}(x^2 y^3), si y ne dépend pas de x, on traite y^3 comme un facteur constant : la réponse est 2xy^3. Cette idée mène aux dérivées partielles en Calculus 3.
Erreurs fréquentes
- Dériver e^2 comme si c'était e^x. \frac{d}{dx}e^2 = 0, et non e^2 ou 2e.
- Supprimer une constante multipliée. \frac{d}{dx}(3x) = 3, et non 0.
- Appliquer la règle de la puissance à une base constante. \frac{d}{dx}\pi^3 vaut 0, et non 3\pi^2.
Dans l'autre sens, toute primitive comporte un +C parce que la dérivée d'une constante vaut 0. Voir l'intégrale d'une constante.
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