Fonction valeur absolue |x| : courbe, dérivée et intégrale

La fonction valeur absolue f(x) = |x| donne la distance de x à 0 sur la droite des réels : elle supprime donc tout signe moins, |3| = 3 et |-3| = 3. Sa courbe en V est l'exemple classique d'une fonction continue partout mais qui possède un point où la dérivée n'existe pas.

Formule

C'est une fonction définie par morceaux construite à partir de deux fonctions affines. De manière équivalente, |x| = \sqrt{x^2}, ce qui la relie à la fonction racine carrée.

Courbe de |x|

La forme générale y = a|x - h| + k est un V de sommet (h, k), tourné vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0, dont les branches ont pour pentes \pm a.

Propriétés principales

• Domaine de définition : tous les réels ; ensemble image : [0, \infty).
• Fonction paire : |-x| = |x|, symétrique par rapport à l'axe des y.
• Continue partout, y compris en 0.
• Minimum absolu égal à 0 en x = 0, qui est un point critique car f'(0) n'existe pas.
• Inégalité triangulaire : |a + b| \le |a| + |b|.
• Les produits se séparent, pas les sommes : |ab| = |a||b|, mais |a + b| n'est en général pas égal à |a| + |b|.

Dérivée de |x|

Pour x \ne 0 :

En x = 0, les limites à droite et à gauche du taux d'accroissement sont

Elles sont différentes, donc f'(0) n'existe pas. C'est le cas d'école des situations où la dérivée n'existe pas : un point anguleux. Avec la règle de dérivation en chaîne, \frac{d}{dx}|g(x)| = \frac{g(x)}{|g(x)|}g'(x) partout où g(x) \ne 0.

Intégrale de |x|

Vérifions morceau par morceau : pour x > 0, on obtient \frac{x^2}{2}, de dérivée x = |x| ; pour x < 0, on obtient -\frac{x^2}{2}, de dérivée -x = |x|. Pour une intégrale définie, on coupe au point où l'expression à l'intérieur change de signe.

Exemples corrigés

Exemple 1 : intégrale définie. Calculons \int_{-1}^{2}|x|\,dx en coupant en 0 :

Géométriquement, ce sont deux triangles d'aires \frac{1}{2} et 2.

Exemple 2 : une valeur absolue décalée. g(x) = |x - 3| a pour dérivée 1 pour x > 3 et -1 pour x < 3, et n'est pas dérivable en x = 3.

Exemple 3 : dérivation en chaîne. Pour x \ne 2, \frac{d}{dx}|2x - 4| = \frac{2x - 4}{|2x - 4|} \cdot 2, qui vaut 2 pour x > 2 et -2 pour x < 2.

Exemple 4 : une limite. \lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x} n'existe pas, car elle vaut 1 à droite et -1 à gauche.

Erreurs fréquentes

1. Dire que |x| n'est pas continue en 0. Elle est continue ; elle n'est simplement pas dérivable en ce point.
2. Écrire |{-x}| = -|x|. Une valeur absolue n'est jamais négative : |-x| = |x|.
3. Intégrer à travers 0 sans couper. \int_{-1}^{2}|x|\,dx n'est pas égale à \frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2}.
4. Oublier que c'est un point critique. Quand on cherche des extremums, il faut inclure les points où la dérivée n'existe pas, comme le sommet d'un V.

Liens avec le reste du programme

Les valeurs absolues apparaissent dans \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C, dans la définition epsilon-delta d'une limite, et dans la convergence absolue des séries, avec les critères de convergence. Pour en savoir plus sur les points anguleux et les autres cas où la dérivée n'existe pas, consultez le guide sur la continuité.