Aire entre deux courbes : exercices corrigés avec réponses

Ces exercices sur l'aire entre deux courbes commencent par des domaines simples puis passent aux courbes qui se croisent et à l'intégration par rapport à y. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses sont données en premier pour vérifier rapidement, puis viennent les solutions détaillées.

La formule :

Trouvez les points d'intersection, déterminez quelle courbe est au-dessus et intégrez la différence. Pour une explication plus longue avec des figures, lisez le guide de l'aire entre deux courbes.

Exercices

Deux courbes, un domaine

1. y = x et y = x^2
2. y = 4 - x^2 et y = 0
3. y = 2x et y = x^2
4. y = x^2 - 4 et y = 2 - x
5. y = \sqrt{x} et y = x^2

Bornes données

6. y = \cos x et y = \sin x de x = 0 à x = \frac{\pi}{4}
7. y = e^x et y = 1 de x = 0 à x = 1
8. y = x et y = \frac{1}{x} de x = 1 à x = 2

Mises en équation plus difficiles

9. Le domaine délimité par x = y^2 et x = y + 2
10. L'aire totale entre y = x^3 et y = x sur [-1, 1]

Réponses

Solutions détaillées

1. Posez x = x^2 : x = 0 ou x = 1. En x = \frac{1}{2}, la droite donne 0.5 et la parabole 0.25, donc la droite est au-dessus :

2. La parabole coupe l'axe des x en x = \pm 2 :

3. Posez 2x = x^2 : x = 0 ou x = 2. En x = 1, la droite est au-dessus :

4. Posez x^2 - 4 = 2 - x : x^2 + x - 6 = 0, donc x = -3 ou x = 2. En x = 0, la droite donne 2 et la parabole -4, donc la droite est au-dessus :

5. Les courbes se coupent en x = 0 et x = 1, et \sqrt{x} est au-dessus entre les deux :

6. Sur \left[0, \frac{\pi}{4}\right], \cos x \geq \sin x :

7. Sur [0, 1], e^x \geq 1 :

8. Pour x > 1, x > \frac{1}{x} :

9. Les deux courbes donnent x en fonction de y, donc intégrez en y. Posez y^2 = y + 2 : y = -1 ou y = 2. En y = 0, la droite donne x = 2 et la parabole x = 0, donc la droite est à droite :

10. Les courbes se coupent en x = -1, 0, 1. Sur [0, 1], x \geq x^3. Sur [-1, 0], x^3 \geq x. Par symétrie, les deux morceaux sont égaux :

Intégrer x - x^3 sur [-1, 1] d'un seul coup donne 0, ce qui est faux.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Bas moins haut. Un résultat négatif vous trahit. Testez un point pour trouver la courbe du haut.
• Ne pas couper au point de croisement. Dans l'exercice 10, une seule intégrale fait se compenser les deux domaines et donne 0.
• Prendre les mauvaises bornes. Les bornes viennent des points d'intersection des courbes, pas des points où une seule courbe coupe l'axe des x.
• Mélanger x et y. Dans l'exercice 9, l'intégrande et les bornes doivent tous deux être en y.

Continuer à s'entraîner

Pour des domaines en nombre illimité avec correction immédiate, essayez la leçon sur l'aire entre deux courbes et la série d'exercices sur les applications. Ensuite, faites tourner ces domaines autour d'un axe avec les exercices sur les volumes de révolution.