Intégrales définies : exercices corrigés avec réponses

Ces exercices sur les intégrales définies commencent par des calculs directs puis passent à la symétrie, aux valeurs absolues, à la géométrie et aux propriétés de l'intégrale. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses sont données en premier pour vérifier rapidement, puis viennent les solutions détaillées.

L'outil de presque tous les exercices est le théorème fondamental de l'analyse, 2e partie :

Exercices

Calcul direct

1. \displaystyle\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx
2. \displaystyle\int_1^4 \sqrt{x}\,dx
3. \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx
4. \displaystyle\int_1^{e}\frac{1}{x}\,dx
5. \displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2 - 2x)\,dx
6. \displaystyle\int_0^1 e^x\,dx

Raccourcis et découpages

7. \displaystyle\int_{-2}^{2}x^3\,dx
8. \displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx
9. Sachant que \int_0^5 f(x)\,dx = 8 et \int_0^2 f(x)\,dx = 3, calculez \int_2^5 f(x)\,dx, \int_5^2 2f(x)\,dx et \int_2^5 \big(2f(x) + 1\big)\,dx.
10. \displaystyle\int_{-3}^{3}\sqrt{9 - x^2}\,dx (utilisez la géométrie)

Interprétation

11. Calculez la valeur moyenne de f(x) = x^2 sur [0, 3].
12. Calculez \int_0^{2\pi}\sin x\,dx et l'aire totale entre y = \sin x et l'axe des x sur [0, 2\pi].

Réponses

Solutions détaillées

1. Une primitive est \frac{x^3}{3} + x :

2. Écrivez \sqrt{x} = x^{1/2}, de primitive \frac{2}{3}x^{3/2} :

3. Une primitive de \cos x est \sin x :

4. Une primitive de \frac{1}{x} est \ln x pour x > 0 :

5. Une primitive est x^3 - x^2. Gardez les parenthèses autour de la valeur en la borne inférieure :

6. e^x est sa propre primitive :

7. x^3 est une fonction impaire, et l'intervalle [-2, 2] est symétrique par rapport à 0. L'aire à gauche compense l'aire à droite, donc l'intégrale vaut 0. Vérification : \left[\frac{x^4}{4}\right]_{-2}^{2} = 4 - 4 = 0.

8. |x - 1| change d'expression en x = 1. Coupez à cet endroit :

Les deux morceaux sont des triangles : l'un de base 1 et de hauteur 1, l'autre de base 2 et de hauteur 2.

9. L'intervalle [0, 5] se découpe en [0, 2] et [2, 5], donc \int_2^5 f(x)\,dx = 8 - 3 = 5 (relation de Chasles). Échanger les bornes change le signe, donc \int_5^2 2f(x)\,dx = -2(5) = -10. Pour la dernière, \int_2^5 1\,dx = 3, donc la réponse est 2(5) + 3 = 13. Voir les propriétés de l'intégrale définie.

10. y = \sqrt{9 - x^2} est le demi-cercle supérieur de rayon 3. La moitié de \pi r^2 vaut :

11. La valeur moyenne est \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx :

12. L'intégrale vaut [-\cos x]_0^{2\pi} = -1 - (-1) = 0. L'arche au-dessus de l'axe compense l'arche en dessous. Pour l'aire totale, ajoutez les deux arches comme des nombres positifs. Chacune a pour aire \int_0^{\pi}\sin x\,dx = 2, donc l'aire totale vaut 4.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Oublier les parenthèses autour de F(a). Dans l'exercice 5, écrire 4 - 1 - 1 au lieu de 4 - (-2) donne 2 au lieu de 6.
• Confondre aire algébrique et aire totale. L'exercice 12 montre qu'elles peuvent être très différentes. Cherchez le mot « aire » dans l'énoncé.
• Intégrer |x - 1| d'un seul morceau. Il faut découper une valeur absolue là où son contenu change de signe.
• Oublier qu'échanger les bornes change le signe. \int_5^2 est l'opposé de \int_2^5.

Continuer à s'entraîner

Pour des intégrales définies en nombre illimité avec correction immédiate, essayez la leçon sur l'aire algébrique et la leçon sur le théorème fondamental, 2e partie. Passez ensuite aux exercices sur le théorème fondamental et aux exercices sur l'aire entre deux courbes.