Dérivées de arcsin, arccos, arctan : exercices corrigés

Ces exercices sur les dérivées des fonctions trigonométriques réciproques commencent par les formules de base, puis font intervenir la dérivation en chaîne, la règle du produit et un logarithme, et se terminent par deux exercices qui se simplifient de façon surprenante et une tangente. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions détaillées.

Les formules à connaître :

Chaque formule s'obtient par dérivation implicite. Les démonstrations complètes se trouvent sur les pages dérivée de arcsin x, dérivée de arctan x et dérivée de arcsec x.

Exercices

Formules de base

1. y = 3\arctan x - 2\arcsin x
2. y = \arctan(3x)
3. y = \arccos(2x)

Dérivation en chaîne

4. y = \arcsin(x^2)
5. y = \arctan\!\left(\sqrt{x}\right)
6. y = \arctan(e^x)
7. y = \operatorname{arcsec}(3x) pour x > \frac{1}{3}

Avec d'autres règles

8. y = x\arctan x
9. y = \ln(\arctan x) pour x > 0
10. y = \arcsin x + \sqrt{1 - x^2}

Simplifier et appliquer

11. y = \arctan x + \arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right) pour x > 0
12. Trouvez la tangente à y = \arctan x en x = 1.

Réponses

Solutions détaillées

1. Utilisez le tableau pour chaque terme :

2. Avec u = 3x, u' = 3 et u^2 = 9x^2 :

3. Avec u = 2x, u' = 2 et u^2 = 4x^2. Gardez le signe moins de arccos :

4. Avec u = x^2, u' = 2x et u^2 = x^4 :

5. Avec u = \sqrt{x}, u' = \frac{1}{2\sqrt{x}} et u^2 = x :

6. Avec u = e^x, u' = e^x et u^2 = e^{2x} :

7. Avec u = 3x > 1, |u| = 3x et u' = 3 :

8. Utilisez la règle du produit :

9. Utilisez (\ln u)' = \frac{u'}{u} avec u = \arctan x :

10. La dérivée de \sqrt{1 - x^2} est \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}. Additionnez les deux parties :

Comme 1 - x^2 = (1 - x)(1 + x), cela se simplifie en \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} pour -1 < x < 1.

11. Pour le second terme, u = \frac{1}{x} et u' = -\frac{1}{x^2} :

Donc y' = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 0. La fonction est constante pour x > 0. En x = 1, elle vaut \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}, donc \arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} pour tout x > 0.

12. Le point a pour ordonnée \arctan 1 = \frac{\pi}{4}. La pente vaut \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2} :

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Ne mettre au carré que x, et non tout l'intérieur. Dans l'exercice 2, le dénominateur est 1 + (3x)^2 = 1 + 9x^2, pas 1 + 3x^2.
• Oublier u' au numérateur. \frac{d}{dx}\arcsin(x^2) demande le 2x au numérateur.
• Confondre \arcsin x et \frac{1}{\sin x}. \arcsin x est la fonction réciproque, et \frac{1}{\sin x} est \csc x. Leurs dérivées sont complètement différentes.
• Oublier le signe moins de arccos. L'exercice 3 a une réponse négative car (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, essayez la leçon sur les dérivées trigonométriques réciproques et la leçon sur les dérivées des fonctions réciproques. Pour revoir d'abord les fonctions trigonométriques usuelles, utilisez les exercices sur les dérivées trigonométriques.