Fonction inverse f(x) = 1/x : courbe, dérivée, primitive et limites

La fonction inverse f(x) = \frac{1}{x} associe à chaque nombre son inverse. C'est la fonction rationnelle la plus simple, la fonction puissance d'exposant -1, et l'exemple de référence pour les limites infinies, les asymptotes et la dérivée du logarithme népérien.

Formule

Courbe de 1/x

La courbe est une hyperbole à deux branches, l'une dans le premier quadrant et l'autre dans le troisième.

Propriétés principales

• Domaine de définition et ensemble image. Tous les réels sauf 0, dans les deux cas.
• Fonction impaire. \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}, donc la courbe est symétrique par rapport à l'origine.
• Asymptotes. Asymptote verticale x = 0, asymptote horizontale y = 0.
• Elle est sa propre réciproque. En résolvant y = \frac{1}{x} en x, on obtient x = \frac{1}{y}, donc f^{-1} = f et la courbe est symétrique par rapport à la droite y = x.
• Discontinue seulement en 0, qui n'appartient pas au domaine. Elle est continue sur son domaine de définition.

Limites de 1/x

Comme les limites à gauche et à droite en 0 sont différentes, \lim_{x \to 0}\frac{1}{x} n'existe pas. La limite à l'infini est la brique de base des limites à l'infini de toutes les fonctions rationnelles.

Dérivée de 1/x

Cela découle de la règle de la puissance avec n = -1. La dérivée est négative partout où elle est définie, donc la fonction est décroissante sur chaque branche, et les tangentes deviennent plus raides près de 0 et plus plates loin de l'origine. La dérivée seconde est \frac{2}{x^3} : la fonction est convexe pour x > 0 et concave pour x < 0.

Primitive de 1/x

La règle de la puissance pour les primitives donnerait \frac{x^0}{0}, qui n'est pas défini : \frac{1}{x} est donc la seule puissance dont la primitive est un logarithme népérien. La valeur absolue couvre le cas x négatif : pour x < 0, \frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}.

Une intégrale définie ne peut pas traverser x = 0 : \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx est une intégrale impropre divergente.

Exemples corrigés

Exemple 1 : tangente. En x = 2, f(2) = \frac{1}{2} et f'(2) = -\frac{1}{4}, donc la tangente a pour équation y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x - 2) = -\frac{1}{4}x + 1.

Exemple 2 : intégrale définie. \int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1.

Exemple 3 : une fonction inverse décalée. \frac{d}{dx}\frac{3}{x - 1} = -\frac{3}{(x - 1)^2} et \int \frac{3}{x - 1}\,dx = 3\ln|x - 1| + C.

Erreurs fréquentes

1. Écrire \int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^0}{0} ou \ln x sans la valeur absolue.
2. Se tromper de signe dans la dérivée. \frac{d}{dx}\frac{1}{x} vaut -\frac{1}{x^2}, et non \frac{1}{x^2}.
3. Confondre \frac{1}{x}, écrit x^{-1}, avec une fonction réciproque. \frac{1}{f(x)} est un inverse au sens de la division, tandis que f^{-1}(x) désigne en général la fonction réciproque. Pour \frac{1}{x}, les deux coïncident, ce qui est exceptionnel.
4. Intégrer à travers l'asymptote comme si la fonction y était continue.

Liens avec le reste du cours

L'aire sous la courbe de \frac{1}{t} entre 1 et x vaut exactement \ln x, ce qui est une façon de définir le logarithme népérien. La page sur les fonctions puissances présente la famille x^n à laquelle appartient \frac{1}{x}, et la série harmonique \sum \frac{1}{n} en est la cousine discrète.