Fonctions définies par morceaux : courbes, limites, continuité

Une fonction définie par morceaux est une fonction donnée par des formules différentes sur différentes parties de son domaine de définition. La règle indique quelle formule utiliser selon la position de x. Ces fonctions sont les cas tests classiques pour les limites, la continuité et la dérivabilité, car tout l'intérêt se joue là où les morceaux se raccordent.

Comment lire une fonction définie par morceaux

Pour calculer une image, on cherche d'abord quelle condition x vérifie, puis on utilise uniquement ce morceau. Ici f(0) = 0^2 = 0, f(1) = 3 - 1 = 2 (car x \ge 1 inclut 1), et f(2) = 3 - 2 = 1.

Courbe d'une fonction définie par morceaux

Chaque morceau n'est tracé que sur son propre intervalle. Un point vide marque une extrémité exclue ; un point plein marque une extrémité incluse.

Limites d'une fonction définie par morceaux

En un point de raccordement a, on calcule séparément les deux limites à gauche et à droite, chacune avec son propre morceau. Pour la fonction ci-dessus en a = 1 :

Les limites à gauche et à droite sont différentes, donc \lim_{x\to 1}f(x) n'existe pas, et la courbe présente un saut. Loin du point de raccordement, une limite se calcule simplement par substitution directe dans le morceau actif.

Continuité en un point de raccordement

f est continue en a lorsque ces trois quantités sont égales :

1. la limite à gauche \lim_{x\to a^-}f(x),
2. la limite à droite \lim_{x\to a^+}f(x),
3. la valeur f(a).

Exemple : choisir une constante. Pour quelle valeur de k la fonction

est-elle continue ? La limite à gauche en 2 vaut 2k + 1, et la limite à droite ainsi que la valeur valent 2^2 = 4. L'équation 2k + 1 = 4 donne k = \frac{3}{2}.

Dérivée d'une fonction définie par morceaux

À l'intérieur de chaque intervalle ouvert, on dérive le morceau actif comme d'habitude. En un point de raccordement, il faut deux vérifications :

• f doit y être continue (un saut empêche toute dérivabilité).
• Les dérivées à gauche et à droite doivent être égales : \lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Lorsque les deux morceaux sont des polynômes et que f est continue en a, la seconde vérification revient à comparer f_1'(a) et f_2'(a).

Exemple : un point anguleux. La fonction valeur absolue |x| vaut -x pour x < 0 et x pour x \ge 0. Elle est continue en 0, mais la pente à gauche vaut -1 et la pente à droite vaut 1, donc |x| n'est pas dérivable en 0.

Exemple : continue mais pas lisse. Pour la fonction g ci-dessus avec k = \frac{3}{2}, la pente à gauche en 2 vaut \frac{3}{2} et la pente à droite vaut 2x = 4. Elles diffèrent, donc g est continue mais pas dérivable en x = 2.

Intégrer une fonction définie par morceaux

On coupe l'intégrale en chaque point de raccordement situé dans l'intervalle. Pour la première fonction sur [0, 3] :

La seconde intégrale vaut \left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = 2. Un saut isolé ne change pas la valeur de l'intégrale, donc peu importe à quel morceau appartient le point x = 1.

Erreurs fréquentes

1. Utiliser le mauvais morceau à la frontière. Vérifiez si la condition indique < ou \le avant de calculer f(a).
2. Conclure à la continuité à partir d'un seul côté. Les deux limites à gauche et à droite et la valeur doivent être égales.
3. Croire que continue implique dérivable. Les points anguleux comme celui de |x| en 0 sont continus mais sans dérivée.
4. Dériver les morceaux et les comparer en un saut. Si f n'est pas continue en a, elle n'y est pas dérivable, même si les pentes des morceaux coïncident.
5. Intégrer une seule formule sur tout l'intervalle. Coupez toujours aux points de raccordement.

Fonctions associées

Les fonctions partie entière sont des fonctions en escalier, constantes par morceaux, avec un saut en chaque entier, et la valeur absolue est la fonction par morceaux la plus simple présentant un point anguleux. Pour une étude complète des limites et de la continuité, consultez le guide sur la continuité.