Partie entière ⌊x⌋ et ⌈x⌉ : courbes, limites, dérivée, intégrale

La partie entière \lfloor x\rfloor arrondit un nombre à l'entier inférieur le plus proche, et la partie entière supérieure \lceil x\rceil l'arrondit à l'entier supérieur. Leurs courbes ressemblent à des escaliers, ce qui en fait les exemples classiques de fonctions définies par morceaux présentant des discontinuités de saut. La partie entière est aussi appelée partie entière inférieure et s'écrit parfois [x] ou \operatorname{int}(x) (en France, on rencontre aussi la notation E(x)).

Définitions

Attention aux nombres négatifs : arrondir -2.7 vers le bas donne -3, et non -2.

Courbe de la partie entière

Courbe de la partie entière supérieure

Propriétés principales

• Ensemble image. Les deux fonctions ne prennent que des valeurs entières.
• Encadrement. x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x\rceil < x + 1.
• Les entiers sont fixes. \lfloor n\rfloor = \lceil n\rceil = n pour tout entier n.
• Translation par un entier. \lfloor x + n\rfloor = \lfloor x\rfloor + n pour tout entier n.
• Les deux fonctions sont liées. \lceil x\rceil = -\lfloor -x\rfloor, et pour un x non entier, \lceil x\rceil = \lfloor x\rfloor + 1.

Limites et continuité

Entre deux entiers, la partie entière est constante, donc continue. En un entier n, les limites à gauche et à droite diffèrent :

Ainsi, \lim_{x\to n}\lfloor x\rfloor n'existe pas, et il y a un saut de hauteur 1. Comme la limite à droite est égale à \lfloor n\rfloor, la partie entière est continue à droite. Pour la partie entière supérieure, c'est l'inverse : \lim_{x\to n^-}\lceil x\rceil = n et \lim_{x\to n^+}\lceil x\rceil = n + 1, donc elle est continue à gauche. Pour les définitions rigoureuses, consultez le guide sur la continuité.

Exemple : une limite en l'infini. Déterminons \lim_{x\to\infty}\frac{\lfloor x\rfloor}{x}. Pour x > 0, en divisant x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x par x, on obtient 1 - \frac{1}{x} < \frac{\lfloor x\rfloor}{x} \le 1. Les deux bornes tendent vers 1, donc d'après le théorème des gendarmes, la limite vaut 1.

Dérivée de la partie entière

Sur chaque intervalle ouvert (n, n+1), la fonction est la constante n, dont la dérivée est 0. En un entier, la fonction n'est pas continue, donc pas dérivable. Il en va de même pour la partie entière supérieure.

Intégrale de la partie entière

Chaque intervalle unité [k, k+1] apporte un rectangle de hauteur k et de largeur 1 : on additionne donc des aires de rectangles, un peu comme une somme de Riemann qui serait exacte. Pour x \ge 0 :

La même formule reste valable pour x négatif.

Exemple. \int_0^{3.5}\lfloor t\rfloor\,dt = 0 + 1 + 2 + 3(0.5) = 4.5. La formule donne le même résultat : 3(3.5) - \frac{3\cdot 4}{2} = 10.5 - 6 = 4.5.

Exemple avec la partie entière supérieure. \int_0^3\lceil t\rceil\,dt = 1 + 2 + 3 = 6, car \lceil t\rceil vaut 1 sur (0, 1], 2 sur (1, 2] et 3 sur (2, 3]. Des points isolés ne modifient pas une intégrale.

Erreurs fréquentes

1. Arrondir les négatifs vers zéro. \lfloor -1.2\rfloor = -2, et non -1.
2. Affirmer que la limite en un entier existe. Les limites à gauche et à droite diffèrent de 1.
3. Placer le point plein du mauvais côté. Les marches de la partie entière sont fermées à gauche ; celles de la partie entière supérieure sont fermées à droite.
4. Dériver en un point de saut. La dérivée ne vaut 0 qu'entre les entiers. En un entier, elle n'existe pas.

Où les rencontre-t-on ?

Les fonctions en escalier modélisent tout ce qui est facturé par unités entières : l'affranchissement par tranche de poids, le stationnement à l'heure ou les tranches d'imposition. En analyse, ce sont les exemples de référence pour les limites à gauche et à droite, et pour les fonctions intégrables mais non continues. Voir la méthode générale sur les fonctions définies par morceaux, et comparer avec le point anguleux de la fonction valeur absolue.