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Intégrales trigonométriques

Intégrale de cos x : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de cos x vaut sin x + C. Pourquoi il n'y a pas de signe moins, l'aire d'une bosse, cos(ax + b) par changement de variable et des exemples.

Intégrales trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\int \cos x\,dx = \sin x + C
Primitive
\sin x + C
Aire d''une bosse
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx = 2
Période complète
\int_0^{2\pi}\cos x\,dx = 0
Forme affine
\int\cos(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax + b) + C
Vérification
\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x
Sur cette page
  1. Graphique de cos x et de sa primitive
  2. Démonstration pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales définies
  5. Variantes par changement de variable
  6. Exemples corrigés
  7. Erreurs fréquentes

L'intégrale de \cos x est \sin x + C. Comme la dérivée de \sin x est exactement \cos x, c'est l'une des intégrales les plus simples qui soient.

\int \cos x\,dx = \sin x + C

Graphique de cos x et de sa primitive

Aire sous y = cos x de -π/2 à π/2, avec la primitive y = sin x
La bosse hachurée a une aire de \sin\frac{\pi}{2} - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2. La courbe en pointillés y = \sin x monte de -1 à 1 sur le même intervalle.

La primitive \sin x atteint son maximum en x = \frac{\pi}{2}, exactement là où \cos x s'annule en passant du positif au négatif.

Démonstration pas à pas

  1. Se demander : quelle fonction a pour dérivée \cos x ?
  2. La dérivée de sin x est \cos x.
  3. Donc \sin x est une primitive de \cos x.
  4. On ajoute C pour obtenir toutes les primitives : \sin x + C.

Aucune correction de signe n'est nécessaire ici, contrairement à l'intégrale de sin x.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}(\sin x + C) = \cos x \checkmark

Intégrales définies

Intégrale Valeur
\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1
\int_0^{\pi/6}\cos x\,dx \frac{1}{2}
\int_0^{\pi}\cos x\,dx 0
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx 2

Comme \cos x est paire, \int_{-a}^{a}\cos x\,dx = 2\int_0^a\cos x\,dx = 2\sin a.

Variantes par changement de variable

Avec u = ax + b :

\int\cos(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax + b) + C

Par exemple, \int\cos(4x - 1)\,dx = \frac{1}{4}\sin(4x - 1) + C, et \int\cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) + C.

Quand la dérivée de l'intérieur apparaît en facteur, on utilise un changement de variable :

\int \cos x\,e^{\sin x}\,dx = e^{\sin x} + C \quad (u = \sin x)
\int \cos x\,\sin^3 x\,dx = \frac{\sin^4 x}{4} + C \quad (u = \sin x)
\int \frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sin(\sqrt{x}) + C \quad (u = \sqrt{x})

Pour la dernière, du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx, donc \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du.

Exemples corrigés

Exemple 1. \int(2\cos x - 3\sin x)\,dx = 2\sin x + 3\cos x + C. Remarquez comment le moins devant \sin se combine avec le moins de -\cos x pour donner +3\cos x.

Exemple 2. \int_0^{\pi/4}\cos(2x)\,dx = \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}.

Exemple 3 : un problème de condition initiale. Si f'(x) = \cos x et f(0) = 3, alors f(x) = \sin x + C et f(0) = C = 3, donc f(x) = \sin x + 3.

Exemple 4 : mouvement harmonique simple. Si un ressort a pour vitesse v(t) = 4\cos(2t) et pour position s(0) = 0, alors s(t) = 2\sin(2t). L'amplitude vaut 2.

Erreurs fréquentes

  1. Écrire -\sin x. C'est la dérivée de \cos x, pas son intégrale.
  2. Oublier de diviser par a. \int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C, et non \sin(3x) + C.
  3. Intégrer \cos^2 x en \sin^2 x ou en \frac{\cos^3 x}{3}. Les puissances de fonctions trigonométriques demandent des identités. Voir l'intégrale de cos² x.
  4. Intégrer \cos(x^2) en \frac{\sin(x^2)}{2x}. On ne peut pas diviser par une dérivée intérieure qui contient la variable. \int\cos(x^2)\,dx n'a pas de primitive élémentaire.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de cos x ?
L'intégrale de \cos x est \sin x + C.

Quelle est l'intégrale de cos(2x) ?
C'est \frac{1}{2}\sin(2x) + C. Vérification : la dérivée de \frac{1}{2}\sin(2x) est \frac{1}{2}\cdot 2\cos(2x) = \cos(2x).

Combien vaut l'intégrale de cos x entre 0 et π ?
Elle vaut \sin\pi - \sin 0 = 0. L'aire au-dessus de l'axe sur \left[0, \frac{\pi}{2}\right] compense l'aire en dessous sur \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right].

L'intégrale de cos x est-elle égale à -sin x ?
Non. -\sin x est la dérivée de \cos x. L'intégrale est +\sin x + C.

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