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Intégrales trigonométriques

Intégrale de cos² x : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de cos² x vaut x/2 + sin(2x)/4 + C. La linéarisation, la vérification, cos²(ax) et le calcul de l'aire d'un disque.

Intégrales trigonométriques Mis à jour Lecture : 2 min

En bref

\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C
Primitive
\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C
Identité utilisée
\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}
Forme équivalente
\dfrac{x + \sin x\cos x}{2} + C
De 0 à 2π
\pi
Vérification avec sin²
\int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = x + C
Sur cette page
  1. Graphique de cos² x et de sa primitive
  2. Démonstration pas à pas
  3. Vérification par dérivation
  4. Intégrales définies
  5. Variantes par changement de variable
  6. Où on la rencontre : l'aire d'un disque
  7. Exemple corrigé : cos² x sin² x
  8. Erreurs fréquentes

L'intégrale de \cos^2 x est \dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C. Comme pour \sin^2 x, il faut linéariser avant d'intégrer.

\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

Graphique de cos² x et de sa primitive

Aire sous y = cos² x de -π/2 à π/2, avec la primitive y = x/2 + sin(2x)/4
L'aire hachurée vaut \frac{\pi}{2} \approx 1.571. La primitive en pointillés croît le plus vite en x = 0, où \cos^2 x = 1, et s'aplatit là où \cos^2 x = 0.

Démonstration pas à pas

  1. Partir de \cos 2x = 2\cos^2 x - 1.
  2. Isoler \cos^2 x : \cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}.
  3. Remplacer : \displaystyle\int\cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 + \cos 2x)\,dx.
  4. Intégrer : \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2}\right) + C.
  5. Simplifier : \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C.

L'étape 4 utilise l'intégrale de cos x, avec un facteur \frac{1}{2} dû au 2x intérieur.

Vérification par dérivation

\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\cos 2x}{2} = \cos^2 x \checkmark

Deuxième vérification : ajoutez ce résultat à l'intégrale de sin² x :

\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) + \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) = x

Cela correspond à \int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = \int 1\,dx = x. Le sens direct se trouve sur la page dérivée de cos² x.

Intégrales définies

\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{4}, \qquad \int_0^{\pi}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_0^{2\pi}\cos^2 x\,dx = \pi
\int_0^{\pi/6}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sin(\pi/3)}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} \approx 0.478

Variantes par changement de variable

\int\cos^2(ax)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2ax)}{4a} + C

Exemple 1. \int\cos^2(5x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 10x}{20} + C.

Exemple 2. \int\cos^2\frac{x}{2}\,dx = \int\frac{1 + \cos x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C.

Exemple 3 : avec un facteur sin x. \int\cos^2 x\sin x\,dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + C, en posant u = \cos x. Aucune identité n'est nécessaire.

Où on la rencontre : l'aire d'un disque

L'aire d'un disque de rayon 1 vaut 4\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx. On pose x = \sin\theta, dx = \cos\theta\,d\theta :

4\int_0^{\pi/2}\cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = 4\cdot\frac{\pi}{4} = \pi

Les mêmes étapes donnent l'intégrale de √(1 - x²). Voir le changement de variable trigonométrique pour la méthode.

Exemple corrigé : cos² x sin² x

On utilise \sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}, donc \sin^2 x\cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4} = \frac{1 - \cos 4x}{8}. Alors

\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C

Erreurs fréquentes

  1. Répondre \sin^2 x. Sa dérivée est 2\sin x\cos x.
  2. Répondre \frac{\cos^3 x}{3}. Il faudrait un facteur -\sin x.
  3. Utiliser 1 - \cos 2x. Cette identité est pour \sin^2 x. Test rapide : en x = 0, \cos^2 x = 1, et \frac{1 + \cos 0}{2} = 1.
  4. Écrire \frac{\sin 2x}{2} au lieu de \frac{\sin 2x}{4}. Pensez aux deux divisions par deux : l'une vient de l'identité, l'autre du 2x intérieur.

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Questions fréquentes

Quelle est l'intégrale de cos² x ?
C'est \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C, ou de façon équivalente \frac{1}{2}(x + \sin x\cos x) + C.

Combien vaut l'intégrale de cos² x entre 0 et 2π ?
Elle vaut \pi. Le terme en \sin 2x vaut 0 aux deux bornes, il reste \frac{2\pi}{2}.

Quelle est l'intégrale de cos²(x/2) ?
Comme \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}, l'intégrale vaut \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C.

Quelle est l'intégrale de cos² x sin x ?
On pose u = \cos x, du = -\sin x\,dx. Le résultat est -\frac{\cos^3 x}{3} + C.

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