Propriétés de l'intégrale : Chasles, parité et exemples
Les propriétés de l'intégrale définie : inversion des bornes, relation de Chasles, parité des fonctions et positivité, avec des exemples corrigés.
Règles d'intégration Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Bornes égales
- \int_a^a f(x)\,dx = 0
- Bornes inversées
- \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx
- Constante
- \int_a^b k\,dx = k(b - a)
- Fonction impaire
- \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0
- Fonction paire
- \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx
- Croissance
- Si f(x) \le g(x) sur [a, b], alors \int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx
Sur cette page
Les propriétés de l'intégrale définie sont les règles qui permettent de manipuler \int_a^b f(x)\,dx sans la recalculer entièrement : échanger les bornes, découper l'intervalle, exploiter la symétrie et estimer sa valeur. Elles découlent toutes de l'interprétation de l'intégrale comme aire algébrique, ou du théorème fondamental de l'analyse.
Les propriétés
On suppose f et g intégrables sur les intervalles considérés.
| Propriété | Énoncé |
|---|---|
| Bornes égales | \int_a^a f(x)\,dx = 0 |
| Bornes inversées | \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx |
| Constante | \int_a^b k\,dx = k(b-a) |
| Linéarité | \int_a^b [\alpha f + \beta g]\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx |
| Relation de Chasles | \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx |
| Croissance | f \le g sur [a,b] \Rightarrow \int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx |
| Encadrement | m \le f \le M sur [a,b] \Rightarrow m(b-a) \le \int_a^b f\,dx \le M(b-a) |
| Fonction impaire | f(-x) = -f(x) \Rightarrow \int_{-a}^{a} f\,dx = 0 |
| Fonction paire | f(-x) = f(x) \Rightarrow \int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx |
Les propriétés de croissance et d'encadrement supposent a < b. La relation de Chasles est vraie quel que soit l'ordre de a, b et c, du moment que f est intégrable sur les intervalles, grâce à la règle des bornes inversées.
Pourquoi elles sont vraies
Si F est une primitive de f, alors \int_a^b f\,dx = F(b) - F(a). Chaque propriété s'obtient alors en une ligne de calcul :
- bornes égales : F(a) - F(a) = 0 ;
- bornes inversées : F(a) - F(b) = -\left(F(b) - F(a)\right) ;
- relation de Chasles : \left(F(b) - F(a)\right) + \left(F(c) - F(b)\right) = F(c) - F(a).
La linéarité est traitée sur sa propre page : linéarité de l'intégrale.
Symétrie : fonctions paires et impaires
![Aire algébrique de la fonction impaire y = x³ − 2x sur [−1,5 ; 1,5]](https://practicecalculus.com/fr/regles/proprietes-de-l-integrale/graphs/0.svg)
Une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine : chaque portion d'aire positive a une portion d'aire négative correspondante. Une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des y : les deux moitiés sont égales et on peut doubler l'une d'elles. Vérifier la parité en premier peut transformer un long calcul en une seule ligne.
Exemples corrigés
Exemple 1 : fonction impaire. x^5 - 4x^3 + \sin x est impaire, donc
Exemple 2 : fonction paire. x^2 est paire, donc
Exemple 3 : relation de Chasles et bornes inversées. On sait que \int_0^5 f(x)\,dx = 10 et \int_0^2 f(x)\,dx = 3 :
Exemple 4 : une valeur absolue. On coupe là où l'expression à l'intérieur change de signe. Sur [-1, 0], \lvert x\rvert = -x ; sur [0, 2], \lvert x\rvert = x :
Exemple 5 : estimer par encadrement. Sur [0, 1], e^{-1} \le e^{-x^2} \le 1, donc
Cette intégrale n'a pas de primitive élémentaire, et pourtant l'encadrement la situe précisément. Sa valeur réelle est d'environ 0.747.
Erreurs fréquentes
- Utiliser la parité sur un intervalle non symétrique. \int_{-1}^{2} x^3\,dx ne vaut pas 0. L'intervalle doit être de la forme [-a, a].
- Déclarer une fonction impaire sans vérifier. x^3 + 1 n'est ni paire ni impaire, donc \int_{-1}^{1} (x^3 + 1)\,dx = 2, et non 0.
- Oublier le changement de signe quand on inverse les bornes.
- Confondre aire algébrique et aire totale. \int_{-1}^{1} x\,dx = 0, mais l'aire totale coloriée vaut 1. Pour une aire, on intègre \lvert f(x)\rvert, comme pour l'aire entre deux courbes.
Pour voir comment ces propriétés se rattachent aux sommes de Riemann et au calcul des intégrales, consultez les guides sur les sommes de Riemann et le théorème fondamental de l'analyse.
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L'intégrale définie comme une aire
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