Théorème de Schwarz : égalité des dérivées partielles croisées

Le théorème de Schwarz, aussi appelé théorème de Clairaut, affirme que pour une fonction de deux variables suffisamment régulière, l'ordre dans lequel on calcule les dérivées partielles croisées n'a pas d'importance : dériver par rapport à x puis à y donne le même résultat que par rapport à y puis à x. C'est pour cette raison qu'une fonction possède une seule matrice hessienne, et non deux.

Énoncé du théorème de Schwarz

Soit f(x, y) définie sur un disque ouvert D contenant le point (a, b). Si les dérivées partielles croisées f_{xy} et f_{yx} sont toutes deux continues sur D, alors

Notation : f_{xy} = (f_x)_y signifie que l'on dérive d'abord par rapport à x, puis par rapport à y. En notation de Leibniz, f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}. Le théorème s'étend à plus de variables et à des ordres supérieurs : lorsque les dérivées partielles sont continues, seul compte le nombre de dérivations par rapport à chaque variable.

Ce que signifie le théorème de Schwarz

f_{xy} mesure comment la pente de la surface dans la direction x varie lorsqu'on se déplace dans la direction y. f_{yx} mesure comment la pente dans la direction y varie lorsqu'on se déplace dans la direction x. Le théorème dit que ces deux « torsions » de la surface sont le même nombre.

Prenons f(x, y) = x^2 y. En coupant la surface à y fixé, on obtient les courbes y = 1: x^2, y = 2: 2x^2, y = 3: 3x^2.

Pourquoi la continuité compte : le contre-exemple classique

On définit

Le long des axes, un calcul direct à partir de la définition par la limite donne f_x(0, y) = -y et f_y(x, 0) = x. Par conséquent

Les dérivées croisées sont différentes. Le théorème de Schwarz n'est pas contredit pour autant : f_{xy} et f_{yx} ne sont pas continues à l'origine, donc l'hypothèse n'est pas vérifiée.

Exemples corrigés

Exemple 1 : vérifier le théorème pour f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy).

Étape 1. Dérivées partielles premières :

Étape 2. On dérive f_x par rapport à y (règle du produit sur y\cos(xy)) :

Étape 3. On dérive f_y par rapport à x (règle du produit sur x\cos(xy)) :

Les deux résultats coïncident, comme le prévoit le théorème pour une fonction construite à partir de polynômes et de sinus.

Exemple 2 : choisir l'ordre le plus simple. Calculer f_{xy} pour f(x, y) = y e^{x^2} + x\ln(1 + y^4), pour tout (x, y).

Dériver d'abord par rapport à x oblige à appliquer la règle de dérivation en chaîne sur e^{x^2}, puis sur \ln(1 + y^4). Utilisons plutôt f_{xy} = f_{yx} :

Toutes les dérivées partielles sont continues partout, donc f_{xy} = 2xe^{x^2} + \frac{4y^3}{1 + y^4}.

Exemple 3 : tester si un champ est un gradient. Si \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle = \nabla f, alors P = f_x et Q = f_y, donc le théorème impose P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x.

• \mathbf{F} = \langle 2xy,\; x^2 + 3y^2 \rangle : P_y = 2x = Q_x, ce qui est compatible avec un gradient, et en effet \mathbf{F} = \nabla(x^2 y + y^3).
• \mathbf{F} = \langle y,\; -x \rangle : P_y = 1 mais Q_x = -1, donc \mathbf{F} n'est le gradient d'aucune fonction.

Erreurs fréquentes

1. Lire la notation de Leibniz dans le mauvais ordre. \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} signifie qu'on dérive d'abord par rapport à x. Quand le théorème s'applique, l'ordre est sans importance, mais dans le contre-exemple, il compte.
2. Supposer l'égalité sans continuité. C'est pour les fonctions définies par morceaux, avec une valeur imposée séparément en un point, que le théorème peut tomber en défaut.
3. Croire que P_y = Q_x suffit à prouver qu'un champ est un gradient. C'est une condition nécessaire ; elle n'est suffisante que sur un domaine simplement connexe, une subtilité liée à la formule de Green-Riemann.

Théorèmes et guides associés

Pour calculer des dérivées partielles, consultez le guide sur les dérivées partielles. Le théorème de Schwarz est à la base du test du rotationnel pour les champs de gradient utilisé avec la formule de Green-Riemann et le théorème de Stokes, et il rend symétrique le développement de Taylor à plusieurs variables.