Théorème des accroissements finis (TAF) : énoncé et exemples

Le théorème des accroissements finis (TAF) affirme que, pour une fonction régulière, le taux de variation moyen sur un intervalle est atteint comme taux de variation instantané en un point intérieur à cet intervalle. Géométriquement, une tangente est parallèle à la sécante qui relie les extrémités.

Énoncé du théorème des accroissements finis

Soit f une fonction vérifiant les deux hypothèses :

1. f est continue sur l'intervalle fermé [a, b] ;
2. f est dérivable sur l'intervalle ouvert (a, b).

Alors il existe au moins un nombre c dans (a, b) tel que

De manière équivalente, f(b) - f(a) = f'(c)(b - a). C'est cette seconde forme que l'on utilise dans les démonstrations : elle transforme une information sur la dérivée en une information sur la fonction.

Ce que signifie le TAF

La fraction \frac{f(b) - f(a)}{b - a} est la pente de la sécante, c'est-à-dire le taux de variation moyen. f'(c) est la pente de la tangente, un taux de variation instantané. Le TAF affirme que les deux coïncident quelque part. Si votre vitesse moyenne sur un trajet était de 60 km/h, à un certain instant vous rouliez à exactement 60 km/h.

Pourquoi chaque hypothèse compte

Dérivabilité. Prenons f(x) = |x| sur [-1, 2]. Elle est continue, et la pente de la sécante vaut \frac{2 - 1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}. Mais f'(x) vaut -1 pour x < 0 et 1 pour x > 0, jamais \frac{1}{3}. Le coupable est le point anguleux en 0.

Continuité. Prenons f(x) = \frac{1}{x} sur [-1, 1]. La pente de la sécante vaut \frac{1 - (-1)}{2} = 1, et pourtant f'(x) = -\frac{1}{x^2} est toujours négative. La fonction n'est pas continue en 0, donc le TAF ne s'applique pas.

Exemples corrigés

Exemple 1 : trouver c pour f(x) = x^3 sur [0, 2].

Étape 1. f est un polynôme, donc les deux hypothèses sont vérifiées.

Étape 2. Pente moyenne : \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{8}{2} = 4.

Étape 3. On résout f'(c) = 3c^2 = 4, ce qui donne c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}. Seul c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155 appartient à (0, 2).

Exemple 2 : trouver c pour f(x) = \sqrt{x} sur [1, 4].

f est continue sur [1, 4] et dérivable sur (1, 4). La pente moyenne vaut \frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3}. On résout

et \frac{9}{4} = 2.25 appartient bien à (1, 4).

Exemple 3 : majorer une fonction. On suppose que f(0) = 1 et que f'(x) \le 3 pour tout x. Quelle valeur maximale peut prendre f(2) ?

D'après le TAF sur [0, 2], f(2) - f(0) = f'(c) \cdot 2 pour un certain c. Comme f'(c) \le 3,

On obtient une information sur f(2) sans connaître la fonction. C'est ainsi que le TAF sert dans les démonstrations et dans les estimations d'erreur de l'approximation affine. En France, ce résultat est souvent appelé inégalité des accroissements finis.

Conséquences essentielles

• Dérivée nulle signifie fonction constante. Si f'(x) = 0 sur un intervalle, alors pour deux points quelconques f(x_2) - f(x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0, donc f est constante.
• Même dérivée signifie différence constante. Si f' = g', alors f - g est constante. C'est pourquoi toute primitive s'écrit avec un + C.
• Le signe de f' donne le sens de variation. Si f' > 0 sur un intervalle, f y est croissante : c'est le fondement de l'étude des variations par le signe de la dérivée.

Erreurs fréquentes

1. Donner un c hors de (a, b). Résolvez f'(c) = \text{pente}, puis écartez les racines qui ne sont pas dans l'intervalle ouvert.
2. Oublier de vérifier les hypothèses. Pour les fonctions avec des racines, des valeurs absolues ou des fractions, vérifiez d'abord la continuité et la dérivabilité.
3. Croire que le TAF localise c. Il garantit seulement qu'un tel point existe. Dans de nombreuses applications, comme dans l'exemple 3, on ne détermine jamais c.

Théorèmes liés

Le TAF se démontre à partir du théorème de Rolle en soustrayant la sécante à f. Son jumeau intégral est le théorème de la moyenne, et la formule de Taylor en est une version d'ordre supérieur. Pour plus d'applications et d'exercices, lisez le guide complet du théorème des accroissements finis.