Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : énoncé et exemples

Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) affirme qu'une fonction continue ne peut pas sauter de valeurs. Si elle part d'une hauteur et arrive à une autre, elle doit passer par toutes les hauteurs intermédiaires. C'est la méthode classique pour prouver qu'une équation admet une solution sans la résoudre.

Énoncé du théorème des valeurs intermédiaires

On suppose que

1. f est continue sur l'intervalle fermé [a, b], et
2. N est un nombre strictement compris entre f(a) et f(b).

Alors il existe au moins un nombre c dans l'intervalle ouvert (a, b) tel que

Le cas particulier le plus courant concerne les racines : si f est continue sur [a, b] et si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors f(c) = 0 pour un certain c dans (a, b). Cette version est parfois appelée théorème de Bolzano.

Ce que signifie le TVI

Tracez une courbe continue du point (a, f(a)) au point (b, f(b)) sans lever le crayon. Toute droite horizontale y = N située entre les deux hauteurs est forcément traversée. Le TVI est la version rigoureuse de ce dessin.

Remarquez ce que le théorème ne dit pas. Il ne dit pas où se trouve c, ni que c est unique. C'est un théorème d'existence.

Pourquoi la continuité compte : contre-exemples

Une asymptote verticale. Soit f(x) = \frac{1}{x} sur [-1, 1]. Alors f(-1) = -1 et f(1) = 1, donc 0 est compris entre les deux, et pourtant \frac{1}{x} ne vaut jamais 0. Le TVI ne s'applique pas car f n'est même pas définie en x = 0, a fortiori pas continue.

Un saut. Soit f(x) = 0 pour x < 1 et f(x) = 2 pour x \ge 1, sur [0, 2]. La fonction passe de 0 à 2 sans jamais valoir 1. Le saut en x = 1 rompt la continuité.

La continuité sur une partie de l'intervalle ne suffit pas. L'hypothèse porte sur la continuité sur tout [a, b], bornes comprises. Vérifier quelques points ne prouve rien. Consultez le guide sur la continuité pour savoir comment la vérifier.

Exemples corrigés

Exemple 1 : montrer que x^3 - x - 1 = 0 admet une solution entre 1 et 2.

Étape 1. f(x) = x^3 - x - 1 est un polynôme, donc elle est continue sur [1, 2].

Étape 2. f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 et f(2) = 8 - 2 - 1 = 5.

Étape 3. Comme -1 < 0 < 5, le TVI fournit un c dans (1, 2) tel que f(c) = 0.

Étape 4 (resserrer l'encadrement). f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0, donc le changement de signe, et donc une racine, se trouve dans (1, 1.5). Répéter ce découpage en deux, c'est la méthode de dichotomie, qui localise la racine en c \approx 1.3247.

Exemple 2 : montrer que \cos x = x admet une solution.

On passe tout du même côté : g(x) = \cos x - x, qui est continue partout. Alors

D'après le TVI, g(c) = 0 pour un certain c dans (0, \frac{\pi}{2}), donc \cos c = c. Impossible de résoudre cette équation par le calcul algébrique, mais le TVI prouve que la solution existe.

Exemple 3 : atteindre une valeur autre que zéro. Montrer que f(x) = x^2 + x prend la valeur 4 sur [1, 2]. f est continue, f(1) = 2 et f(2) = 6. Comme 2 < 4 < 6, il existe un c dans (1, 2) tel que c^2 + c = 4. (La résolution donne c = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1.56, qui est bien dans l'intervalle.)

Comment rédiger un raisonnement avec le TVI

Une réponse complète à un examen mentionne les trois éléments :

1. Continuité : justifiez pourquoi f est continue sur [a, b] (polynôme, somme de fonctions continues, etc.).
2. Valeurs aux bornes : calculez f(a) et f(b).
3. Conclusion : indiquez que N est compris entre les deux, donc que d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe c dans (a, b) tel que f(c) = N.

Erreurs fréquentes

1. Oublier de vérifier la continuité. Sans elle, le raisonnement est incomplet, et pour des fonctions comme \tan x ou \frac{1}{x} la conclusion peut être fausse.
2. Affirmer qu'il y a exactement une solution. Le TVI en donne au moins une. L'unicité demande un argument supplémentaire, par exemple la stricte croissance de f.
3. Utiliser la réciproque. Une fonction qui prend toutes les valeurs intermédiaires n'est pas forcément continue. Le TVI ne fonctionne que dans un sens.

Théorèmes liés

Le TVI va de pair avec le théorème des bornes atteintes : tous deux reposent sur la continuité sur un intervalle fermé. Pour prouver qu'une racine est unique, associez le TVI au théorème de Rolle. Pour les techniques de calcul de limites qui sous-tendent la continuité, consultez comment calculer des limites et le théorème des gendarmes.