Théorème des gendarmes : énoncé, idée de preuve et exemples

Le théorème des gendarmes permet de trouver une limite que l'on ne sait pas calculer directement, en encadrant la fonction entre deux fonctions dont on sait calculer les limites. Si la borne inférieure et la borne supérieure tendent vers le même nombre, la fonction prise entre elles doit tendre vers ce nombre aussi.

Énoncé du théorème des gendarmes

Soient f, g et h des fonctions définies sur un intervalle ouvert contenant a, sauf peut-être en a lui-même. On suppose que

1. g(x) \le f(x) \le h(x) pour tout x de cet intervalle avec x \ne a, et
2. \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L.

Alors

Le même énoncé vaut pour les limites à gauche et à droite et pour les limites quand x \to \infty ou x \to -\infty, à condition que l'encadrement soit vrai sur l'intervalle correspondant ou pour tout |x| suffisamment grand.

Ce que dit le théorème des gendarmes en termes simples

Imaginez deux courbes qui se rejoignent en un seul point au-dessus de x = a. Toute courbe tracée entre elles n'a aucune marge de manœuvre près de a : elle est obligée de passer par ce même point. Le théorème transforme cette image en règle : vous n'avez jamais besoin de calculer \lim f(x) directement, seulement les limites des deux bornes.

Pourquoi chaque hypothèse compte

Les bornes doivent avoir la même limite. Tout x \ne 0 vérifie -1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1, mais les bornes tendent vers -1 et 1, qui sont différents. Le théorème ne permet aucune conclusion, et d'ailleurs \lim_{x \to 0}\sin\frac{1}{x} n'existe pas : la fonction prend une infinité de fois chaque valeur de [-1, 1] près de 0.

L'encadrement doit être vrai près de a. Une inégalité vraie seulement loin de a ne dit rien sur la limite en a. En revanche, elle peut être fausse en a lui-même, ou plus loin, sans conséquence. Seul compte un petit intervalle autour de a.

Exemples corrigés

Exemple 1 : \lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x}.

Étape 1. Encadrer le facteur oscillant : -1 \le \sin\frac{1}{x} \le 1 pour tout x \ne 0.

Étape 2. Multiplier par x^2, qui est positif pour x \ne 0, donc les inégalités gardent leur sens :

Étape 3. -x^2 et x^2 tendent toutes deux vers 0 quand x \to 0. D'après le théorème des gendarmes, \lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0.

La substitution directe échoue ici car \sin\frac{1}{0} n'est pas défini, et la règle du produit des limites échoue car \lim \sin\frac{1}{x} n'existe pas. Le théorème des gendarmes est le bon outil.

Exemple 2 : \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x}.

Pour x > 0, l'encadrement -1 \le \cos x \le 1 donne

Les deux bornes tendent vers 0 quand x \to \infty, donc \frac{\cos x}{x} \to 0. Consultez les limites en l'infini pour d'autres limites de ce type.

Exemple 3 : la limite célèbre \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.

Un raisonnement géométrique sur le cercle trigonométrique montre que pour 0 < |x| < \frac{\pi}{2},

Quand x \to 0, \cos x \to 1 et la constante 1 reste égale à 1. Le théorème des gendarmes donne \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1. Cette seule limite explique pourquoi \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, comme le montre la page sur les dérivées des fonctions trigonométriques.

Comment utiliser le théorème des gendarmes

1. Repérez la partie qui pose problème, en général un sinus ou un cosinus d'une expression qui tend vers l'infini.
2. Encadrez-la par des constantes, typiquement -1 et 1.
3. Multipliez ou ajoutez pour reconstruire f(x) au milieu. Si vous multipliez par une quantité négative, inversez les inégalités.
4. Calculez la limite de chaque borne. Si elles coïncident, c'est terminé.

Un raccourci utile : si |f(x)| \le h(x) et h(x) \to 0, alors f(x) \to 0. C'est le théorème des gendarmes avec g = -h.

Erreurs fréquentes

1. Utiliser des bornes de limites différentes. Les bornes -1 et 1 pour \sin\frac{1}{x} seul ne prouvent rien. Il faut multiplier par une expression qui tend vers zéro.
2. Oublier le signe en multipliant. Pour x\sin\frac{1}{x} avec x < 0, les inégalités changent de sens. Utiliser |x\sin\frac{1}{x}| \le |x| évite le problème.
3. Décomposer la limite en produit. Écrire \lim x^2 \cdot \lim \sin\frac{1}{x} est incorrect car la seconde limite n'existe pas.

Théorèmes et guides liés

Le théorème des gendarmes est l'un des outils de base pour calculer des limites. Il est souvent enseigné en même temps que le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème des bornes atteintes, qui décrivent ce que les fonctions continues sont obligées de faire. Pour une introduction en douceur à la notion de limite, commencez par qu'est-ce qu'une limite.