Théorème des bornes atteintes : énoncé, contre-exemples, exemples

Le théorème des bornes atteintes garantit qu'une fonction continue sur un segment possède un point le plus haut et un point le plus bas. C'est grâce à lui que les problèmes d'optimisation sur un intervalle fermé ont toujours une solution, et il indique précisément où la chercher.

Énoncé du théorème des bornes atteintes

Si f est continue sur l'intervalle fermé borné [a, b], alors il existe des réels c et d dans [a, b] tels que

Ainsi, f(c) est le minimum (absolu) de f sur [a, b] et f(d) est le maximum (absolu). Les points c et d peuvent être des bornes ou des points intérieurs, et il peut y en avoir plusieurs de chaque sorte.

Ce que signifie le théorème

La courbe d'une fonction continue sur un segment est un morceau de courbe d'un seul tenant, extrémités comprises. Un tel morceau ne peut pas partir à l'infini, et il ne peut pas s'approcher d'une hauteur sans l'atteindre : il possède donc un sommet et un fond.

Pourquoi chaque hypothèse compte

L'intervalle doit être fermé. f(x) = x sur l'intervalle ouvert (0, 1) est continue, mais n'a pas de maximum : quelle que soit la valeur choisie, un x un peu plus grand donne une image plus grande. Le maximum potentiel 1 se trouve à la borne exclue.

L'intervalle doit être borné. f(x) = x sur [0, \infty) a un minimum en 0 mais pas de maximum, car elle croît indéfiniment.

La fonction doit être continue. Posons f(x) = x pour 0 \le x < 1 et f(1) = 0. Sur [0, 1], les valeurs s'approchent de plus en plus de 1 sans jamais l'atteindre, donc il n'y a pas de maximum. C'est le saut en x = 1 qui en est responsable. Une asymptote verticale, comme pour \frac{1}{x} sur [-1, 1] avec f(0) défini comme 0, fait aussi disparaître le maximum et le minimum.

Ces conditions sont suffisantes, mais pas nécessaires. Certaines fonctions discontinues ont tout de même des extremums. Le théorème les garantit seulement lorsque les hypothèses sont vérifiées.

La méthode du segment

Le théorème des bornes atteintes dit que les extremums existent. Le théorème de Fermat dit qu'un extremum intérieur se trouve forcément en un point critique. Ensemble, ils donnent une méthode complète :

1. Vérifier que f est continue sur [a, b].
2. Trouver les points critiques de f dans (a, b) : là où f'(x) = 0 ou bien où f'(x) n'existe pas.
3. Calculer f en chaque point critique ainsi qu'en a et en b.
4. La plus grande valeur est le maximum, la plus petite est le minimum.

Exemples corrigés

Exemple 1 : f(x) = x^3 - 3x sur [0, 2.5].

Étape 1. f est un polynôme, donc elle est continue et le théorème s'applique.

Étape 2. f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1), qui s'annule en x = \pm 1. Seul x = 1 appartient à (0, 2.5).

Étape 3. On calcule : f(0) = 0, f(1) = 1 - 3 = -2 et f(2.5) = 15.625 - 7.5 = 8.125.

Étape 4. Le minimum est -2, atteint en x = 1, et le maximum est 8.125, atteint en x = 2.5. Remarquez que le maximum se trouve à une borne, où f' ne s'annule pas. C'est pourquoi il faut toujours examiner les bornes.

Exemple 2 : f(x) = x - 2\sin x sur [0, \pi].

f'(x) = 1 - 2\cos x = 0 donne \cos x = \frac{1}{2}, donc x = \frac{\pi}{3} dans (0, \pi). Alors

Le minimum est \frac{\pi}{3} - \sqrt{3}, atteint en x = \frac{\pi}{3}, et le maximum est \pi, atteint en x = \pi.

Exemple 3 : quand le théorème ne s'applique pas. La fonction f(x) = \frac{1}{x} a-t-elle un maximum sur (0, 2] ? L'intervalle n'est pas fermé, donc le théorème ne promet rien. En effet, f(x) \to \infty quand x \to 0^+, donc il n'y a pas de maximum. Il y a en revanche un minimum, f(2) = \frac{1}{2}, ce qui montre que la conclusion du théorème peut rester partiellement vraie.

Erreurs fréquentes

1. Oublier les bornes. Résoudre f'(x) = 0 ne donne que les candidats intérieurs. La réponse se trouve souvent en a ou en b.
2. Utiliser des points critiques hors de l'intervalle. Dans l'exemple 1, x = -1 est un point critique, mais il n'appartient pas à [0, 2.5] : on l'ignore.
3. Appliquer le théorème sur des intervalles ouverts ou non bornés. Il faut alors étudier les limites aux bords, comme dans les problèmes d'optimisation.

Théorèmes associés

Le théorème des bornes atteintes sert à démontrer le théorème de Rolle, et donc le théorème des accroissements finis. Il partage son hypothèse de continuité avec le théorème des valeurs intermédiaires. Pour tracer des courbes et classer les extremums, consultez l'étude de fonctions à l'aide des dérivées.