Derivada de senh x: fórmula, demostración y ejemplos

La derivada de \sinh x es \cosh x. El seno hiperbólico se comporta en muchos aspectos como el seno ordinario, pero su derivada no da sorpresas con los signos.

Demostración a partir de la definición

El seno y el coseno hiperbólicos se definen con exponenciales:

Deriva \sinh x término a término. La derivada de eˣ es e^x, y la derivada de e^(−x) es -e^{-x}:

Los dos signos menos se cancelan, y por eso el resultado es +\cosh x.

Gráfica de senh x y de su derivada

Como \cosh x \ge 1 para todo x, la gráfica de \sinh x siempre sube, y su pendiente mínima es 1 en el origen. Su recta tangente en 0 es y = x.

Derivadas hiperbólicas frente a circulares

El seno ordinario tiene un ciclo de cuatro pasos: \sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin. El seno hiperbólico tiene un ciclo de dos: \sinh \to \cosh \to \sinh. Así que y = \sinh x resuelve y'' = y, mientras que y = \sin x resuelve y'' = -y.

Versión con la regla de la cadena y ejemplos

Ejemplo 1. \frac{d}{dx}\sinh(3x) = 3\cosh(3x).

Ejemplo 2. \frac{d}{dx}\sinh(x^2) = 2x\cosh(x^2).

Ejemplo 3: regla del producto. \frac{d}{dx}\,x\sinh x = \sinh x + x\cosh x.

Ejemplo 4: una potencia. \frac{d}{dx}\sinh^2 x = 2\sinh x\cosh x = \sinh(2x), usando la identidad \sinh 2x = 2\sinh x\cosh x.

Ejemplo 5: un logaritmo. \frac{d}{dx}\ln(\sinh x) = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \coth x para x > 0.

Derivada de la inversa, arsinh x

El seno hiperbólico inverso (argumento del seno hiperbólico) tiene una fórmula logarítmica, \operatorname{arsinh} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right). Su derivada es

Puedes demostrarla como la derivada de arcsen x: toma \sinh y = x, deriva para obtener \cosh y\,y' = 1 y usa \cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + x^2}. Este resultado es la razón por la que \int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C.

Errores comunes

1. Añadir un signo menos. \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x, no -\cosh x. Solo el coseno circular lleva un menos.
2. Confundir \sinh x con \sin x. Comparten un patrón, pero son funciones distintas con gráficas distintas.
3. Olvidar la regla de la cadena. \frac{d}{dx}\sinh(5x) = 5\cosh(5x).

Para los resultados complementarios, consulta la derivada de cosh x y la derivada de tanh x. La página de funciones hiperbólicas trata sus gráficas e identidades.