Dérivée de sinh x : formule, démonstration et exemples

La dérivée de \sinh x est \cosh x. Le sinus hyperbolique (noté aussi sh) se comporte souvent comme le sinus ordinaire, mais sa dérivée ne réserve aucune surprise de signe.

Démonstration à partir de la définition

Le sinus et le cosinus hyperboliques sont définis à l'aide d'exponentielles :

On dérive \sinh x terme à terme. La dérivée de eˣ est e^x, et la dérivée de e^(−x) est -e^{-x} :

Les deux signes moins se compensent, c'est pourquoi la réponse est +\cosh x.

Courbe de sinh x et de sa dérivée

Comme \cosh x \ge 1 pour tout x, la courbe de \sinh x monte toujours, et sa pente minimale vaut 1 à l'origine. Sa tangente en 0 est y = x.

Dérivées hyperboliques et circulaires

Le sinus ordinaire forme un cycle de période quatre : \sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin. Le sinus hyperbolique forme un cycle de période deux : \sinh \to \cosh \to \sinh. Ainsi y = \sinh x est solution de y'' = y, alors que y = \sin x est solution de y'' = -y.

Version composée et exemples

Exemple 1. \frac{d}{dx}\sinh(3x) = 3\cosh(3x).

Exemple 2. \frac{d}{dx}\sinh(x^2) = 2x\cosh(x^2).

Exemple 3 : règle du produit. \frac{d}{dx}\,x\sinh x = \sinh x + x\cosh x.

Exemple 4 : une puissance. \frac{d}{dx}\sinh^2 x = 2\sinh x\cosh x = \sinh(2x), avec l'identité \sinh 2x = 2\sinh x\cosh x.

Exemple 5 : un logarithme. \frac{d}{dx}\ln(\sinh x) = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \coth x pour x > 0.

Dérivée de la réciproque, arsinh x

La réciproque du sinus hyperbolique (argument sinus hyperbolique) s'écrit avec un logarithme : \operatorname{arsinh} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right). Sa dérivée est

On la démontre comme la dérivée de arcsin x : on pose \sinh y = x, on dérive pour obtenir \cosh y\,y' = 1, et on utilise \cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + x^2}. C'est ce résultat qui donne \int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C.

Erreurs fréquentes

1. Ajouter un signe moins. \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x, et non -\cosh x. Seul le cosinus circulaire prend un moins.
2. Confondre \sinh x et \sin x. Elles suivent un schéma semblable mais ce sont des fonctions différentes, aux courbes différentes.
3. Oublier la dérivation en chaîne. \frac{d}{dx}\sinh(5x) = 5\cosh(5x).

Pour les résultats associés, voir la dérivée de cosh x et la dérivée de tanh x. La page des fonctions hyperboliques présente leurs courbes et leurs identités.