Derivada de e^(−x): fórmula, pasos y ejemplos
La derivada de e^(−x) es −e^(−x). Pasos con la regla de la cadena, comprobación con la regla del cociente, derivadas sucesivas, gráfica y ejemplos como xe^(−x).
Derivadas exponenciales y logarítmicas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- -e^{-x}
- Segunda derivada
- e^{-x}
- Derivada n-ésima
- (-1)^n e^{-x}
- Misma función que
- \dfrac{1}{e^x}
- Versión para integrales
- \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
En esta página
La derivada de e^{-x} es -e^{-x}. La exponencial se queda igual, y la derivada del exponente -x, que es -1, pone un signo menos delante.
Paso a paso con la regla de la cadena
Piensa en e^{-x} como e^u con u = -x. La regla de la cadena da
El paso exterior usa que la derivada de eˣ es e^x.
Comprobación con la regla del cociente
Como e^{-x} = \frac{1}{e^x}, la regla del cociente debería coincidir:
El mismo resultado, con más trabajo. La regla de la cadena es el camino rápido.
Gráfica de e^(−x) y de su derivada
La gráfica de e^{-x} es la gráfica de e^x reflejada respecto al eje y. Reflejar de izquierda a derecha convierte cada pendiente ascendente en una descendente, así que la derivada es negativa. Cuando x \to \infty, tanto la función como su pendiente se reducen hacia 0. Esta es la forma del decrecimiento exponencial.
Derivadas sucesivas
Cada derivada saca otro -1, así que los signos se alternan:
| Derivada | Resultado |
|---|---|
| f'(x) | -e^{-x} |
| f''(x) | e^{-x} |
| f'''(x) | -e^{-x} |
| f^{(n)}(x) | (-1)^n e^{-x} |
Como f''(x) = f(x), la función e^{-x} resuelve la ecuación diferencial y'' = y, igual que e^x. Y f'(x) = -f(x) dice que disminuye a una tasa igual a su propio tamaño, que es la regla que define el decrecimiento exponencial.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: regla del producto. Para f(x) = xe^{-x}, la regla del producto da
Así que f crece para x < 1, decrece para x > 1 y tiene un máximo de f(1) = \frac{1}{e} \approx 0.368.
Ejemplo 2: decrecimiento exponencial. Una magnitud A(t) = 50e^{-0.2t} cambia a la tasa
En t = 0 disminuye a razón de 10 unidades por unidad de tiempo.
Ejemplo 3: una suma. Para g(x) = e^x + e^{-x},
Divide ambas entre 2 y obtienes la derivada de cosh x, que es \sinh x.
Errores comunes
- Olvidar el signo menos. \frac{d}{dx}e^{-x} = e^{-x} es incorrecto. La derivada interior es -1.
- Escribir -xe^{-x - 1}. Eso aplica la regla de la potencia a una exponencial.
- Perder la cuenta de los signos en las derivadas sucesivas. Las derivadas pares son positivas y las impares negativas.
- Equivocarse con el signo de la integral. \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C, no e^{-x} + C. Consulta la integral de e^(−x).
Para practicar más la regla de la cadena con exponenciales, prueba los ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
Practícalo ahora
Regla de la cadena: e y ln
Resuelve problemas reales de este tema con corrección al instante, pistas y una solución paso a paso para cada respuesta. Gratis y sin registro para empezar.
Practicar esta lección