Ejercicios de límites resueltos paso a paso con respuestas

Estos ejercicios de cálculo de límites cubren todos los métodos que necesitas para límites finitos: sustitución directa, factorización, conjugados, combinación de fracciones, los límites trigonométricos notables y los límites laterales. Intenta cada ejercicio primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.

La estrategia para todos los ejercicios:

Para repasar por qué funciona, lee cómo calcular límites y la regla de sustitución directa.

Ejercicios

Sustitución directa

1. \displaystyle\lim_{x\to 2}\,(3x^2 - 5x + 1)
2. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{e^x + \cos x}{x + 1}
3. \displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{\sqrt{x + 6}}{x - 1}

Factorizar una forma 0/0

4. \displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{x^2 - 9}{x - 3}
5. \displaystyle\lim_{x\to -2}\,\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}
6. \displaystyle\lim_{x\to 1}\,\frac{x^3 - 1}{x - 1}

Conjugados y fracciones

7. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}
8. \displaystyle\lim_{x\to 4}\,\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{4}}{x - 4}

Límites trigonométricos

9. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sin(5x)}{x}
10. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{1 - \cos x}{x^2}

Límites laterales

11. \displaystyle\lim_{x\to 2^+}\,\frac{x + 1}{x - 2}
12. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{|x|}{x}

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Los polinomios son continuos en todo punto, así que sustituye:

2. El denominador no se anula en x = 0, así que sustituye:

3. De nuevo, nada falla en x = 3:

4. La sustitución da \frac{0}{0}. Factoriza la diferencia de cuadrados y cancela:

5. La sustitución da \frac{4 - 10 + 6}{4 - 4} = \frac{0}{0}. Factoriza numerador y denominador:

6. Usa la diferencia de cubos, x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1):

7. La sustitución da \frac{0}{0}. Multiplica numerador y denominador por el conjugado \sqrt{x+9} + 3:

8. Combina las fracciones del numerador: \frac{1}{x} - \frac{1}{4} = \frac{4 - x}{4x}. Como 4 - x = -(x - 4):

9. Usa \displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1 con \theta = 5x. Multiplica y divide entre 5:

10. Multiplica por \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} y usa 1 - \cos^2 x = \sin^2 x:

11. La sustitución da \frac{3}{0}, así que el límite es infinito. Para x un poco mayor que 2, el numerador está cerca de 3 y el denominador es un número positivo pequeño, así que la fracción es grande y positiva: el límite es +\infty. Hay una asíntota vertical en x = 2.

12. Para x > 0, |x| = x, así que la fracción vale 1. Para x < 0, |x| = -x, así que la fracción vale -1. Los límites laterales son 1 y -1. No coinciden, así que el límite bilateral no existe.

Errores comunes en estos ejercicios

• Quedarse en 0/0. En el ejercicio 4, \frac{0}{0} no es una respuesta. Te indica que primero debes factorizar.
• Cancelar términos en lugar de factores. En el ejercicio 5 puedes cancelar (x+2) porque multiplica a todo el numerador y a todo el denominador. Nunca puedes cancelar el x^2 de x^2 + 5x + 6 y x^2 - 4.
• Escribir \frac{\sin 5x}{x} = \sin 5. No puedes cancelar la x dentro de un seno. El ejercicio 9 necesita el límite notable \frac{\sin\theta}{\theta}\to 1.
• Ignorar el lado. En el ejercicio 11 el lado importa. Por la izquierda, la misma fracción tiende a -\infty, así que solo el límite por la derecha es +\infty.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante en cada paso, prueba la lección de sustitución directa, después la de factorizar formas 0/0 y la del teorema del sándwich. Cuando estés listo para límites cuando x\to\infty, pasa a los ejercicios de límites al infinito.