Grenzwerte berechnen: Aufgaben mit Lösungen und Lösungsweg

Diese Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten decken alle Methoden ab, die du für endliche Grenzwerte brauchst: direktes Einsetzen, Faktorisieren, Erweitern mit der dritten binomischen Formel, Zusammenfassen von Brüchen, die besonderen trigonometrischen Grenzwerte und einseitige Grenzwerte. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Lösungen stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungswege.

Die Strategie für jede Aufgabe:

Warum das funktioniert, erfährst du in Grenzwerte berechnen und bei der Regel zum direkten Einsetzen.

Aufgaben

Direktes Einsetzen

1. \displaystyle\lim_{x\to 2}\,(3x^2 - 5x + 1)
2. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{e^x + \cos x}{x + 1}
3. \displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{\sqrt{x + 6}}{x - 1}

Faktorisieren bei der Form 0/0

4. \displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{x^2 - 9}{x - 3}
5. \displaystyle\lim_{x\to -2}\,\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}
6. \displaystyle\lim_{x\to 1}\,\frac{x^3 - 1}{x - 1}

Erweitern und Brüche

7. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}
8. \displaystyle\lim_{x\to 4}\,\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{4}}{x - 4}

Trigonometrische Grenzwerte

9. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sin(5x)}{x}
10. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{1 - \cos x}{x^2}

Einseitige Grenzwerte

11. \displaystyle\lim_{x\to 2^+}\,\frac{x + 1}{x - 2}
12. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{|x|}{x}

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Polynome sind überall stetig, also setzt du ein:

2. Der Nenner ist bei x = 0 nicht null, also setzt du ein:

3. Auch bei x = 3 geht nichts schief:

4. Einsetzen ergibt \frac{0}{0}. Faktorisiere mit der dritten binomischen Formel und kürze:

5. Einsetzen ergibt \frac{4 - 10 + 6}{4 - 4} = \frac{0}{0}. Faktorisiere Zähler und Nenner:

6. Verwende die Zerlegung der Differenz dritter Potenzen, x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1):

7. Einsetzen ergibt \frac{0}{0}. Erweitere Zähler und Nenner mit \sqrt{x+9} + 3:

8. Fasse die Brüche im Zähler zusammen: \frac{1}{x} - \frac{1}{4} = \frac{4 - x}{4x}. Da 4 - x = -(x - 4) gilt:

9. Verwende \displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1 mit \theta = 5x. Multipliziere und dividiere durch 5:

10. Erweitere mit \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} und verwende 1 - \cos^2 x = \sin^2 x:

11. Einsetzen ergibt \frac{3}{0}, der Grenzwert ist also unendlich. Für x etwas größer als 2 liegt der Zähler nahe bei 3 und der Nenner ist eine kleine positive Zahl, der Bruch ist also groß und positiv: Der Grenzwert ist +\infty. Bei x = 2 liegt eine senkrechte Asymptote.

12. Für x > 0 ist |x| = x, der Bruch ist also 1. Für x < 0 ist |x| = -x, der Bruch ist also -1. Die einseitigen Grenzwerte sind 1 und -1. Sie stimmen nicht überein, also existiert der beidseitige Grenzwert nicht.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Bei 0/0 aufhören. In Aufgabe 4 ist \frac{0}{0} keine Lösung. Es sagt dir, dass du zuerst faktorisieren musst.
• Summanden statt Faktoren kürzen. In Aufgabe 5 darfst du (x+2) kürzen, weil es den gesamten Zähler und Nenner multipliziert. Das x^2 aus x^2 + 5x + 6 und x^2 - 4 darfst du niemals kürzen.
• \frac{\sin 5x}{x} = \sin 5 schreiben. Das x im Sinus lässt sich nicht kürzen. Aufgabe 9 braucht den besonderen Grenzwert \frac{\sin\theta}{\theta}\to 1.
• Die Seite ignorieren. In Aufgabe 11 kommt es auf die Seite an. Von links strebt derselbe Bruch gegen -\infty, nur der rechtsseitige Grenzwert ist +\infty.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben verwenden feste Zahlen. Für unbegrenzt viele Übungen mit immer neuen Zahlen und sofortigem Feedback zu jedem Schritt probiere direktes Einsetzen, dann Faktorisieren bei 0/0 und die Lektion zum Sandwich-Satz. Wenn du bereit für Grenzwerte mit x\to\infty bist, mach weiter mit den Aufgaben zu Grenzwerten im Unendlichen.