Calcul de limites : exercices corrigés avec réponses

Ces exercices sur le calcul de limites couvrent toutes les méthodes nécessaires pour les limites finies : substitution directe, factorisation, quantité conjuguée, réduction au même dénominateur, limites trigonométriques usuelles et limites à gauche et à droite. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions détaillées.

La stratégie pour chaque exercice :

Pour comprendre pourquoi cela fonctionne, lisez comment calculer une limite et la règle de la substitution directe.

Exercices

Substitution directe

1. \displaystyle\lim_{x\to 2}\,(3x^2 - 5x + 1)
2. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{e^x + \cos x}{x + 1}
3. \displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{\sqrt{x + 6}}{x - 1}

Factoriser une forme 0/0

4. \displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{x^2 - 9}{x - 3}
5. \displaystyle\lim_{x\to -2}\,\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}
6. \displaystyle\lim_{x\to 1}\,\frac{x^3 - 1}{x - 1}

Quantité conjuguée et fractions

7. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}
8. \displaystyle\lim_{x\to 4}\,\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{4}}{x - 4}

Limites trigonométriques

9. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sin(5x)}{x}
10. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{1 - \cos x}{x^2}

Limites à gauche et à droite

11. \displaystyle\lim_{x\to 2^+}\,\frac{x + 1}{x - 2}
12. \displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{|x|}{x}

Réponses

Solutions détaillées

1. Les polynômes sont continus partout, donc remplacez :

2. Le dénominateur ne s'annule pas en x = 0, donc remplacez :

3. Là encore, rien ne pose problème en x = 3 :

4. La substitution donne \frac{0}{0}. Factorisez la différence de deux carrés et simplifiez :

5. La substitution donne \frac{4 - 10 + 6}{4 - 4} = \frac{0}{0}. Factorisez le numérateur et le dénominateur :

6. Utilisez la différence de deux cubes, x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) :

7. La substitution donne \frac{0}{0}. Multipliez le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée \sqrt{x+9} + 3 :

8. Réduisez au même dénominateur au numérateur : \frac{1}{x} - \frac{1}{4} = \frac{4 - x}{4x}. Comme 4 - x = -(x - 4) :

9. Utilisez \displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1 avec \theta = 5x. Multipliez et divisez par 5 :

10. Multipliez par \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} et utilisez 1 - \cos^2 x = \sin^2 x :

11. La substitution donne \frac{3}{0}, donc la limite est infinie. Pour x légèrement supérieur à 2, le numérateur est proche de 3 et le dénominateur est un petit nombre positif, donc la fraction est grande et positive : la limite vaut +\infty. Il y a une asymptote verticale en x = 2.

12. Pour x > 0, |x| = x, donc la fraction vaut 1. Pour x < 0, |x| = -x, donc la fraction vaut -1. Les limites à gauche et à droite valent 1 et -1. Elles sont différentes, donc la limite n'existe pas.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• S'arrêter à 0/0. Dans l'exercice 4, \frac{0}{0} n'est pas une réponse. C'est le signal qu'il faut d'abord factoriser.
• Simplifier des termes au lieu de facteurs. Dans l'exercice 5, on peut simplifier par (x+2) car il multiplie tout le numérateur et tout le dénominateur. On ne peut jamais simplifier le x^2 de x^2 + 5x + 6 et de x^2 - 4.
• Écrire \frac{\sin 5x}{x} = \sin 5. On ne peut pas simplifier le x à l'intérieur d'un sinus. L'exercice 9 demande la limite usuelle \frac{\sin\theta}{\theta}\to 1.
• Ignorer le côté. Dans l'exercice 11, le côté compte. Par la gauche, la même fraction tend vers -\infty, donc seule la limite à droite vaut +\infty.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles valeurs et une correction immédiate à chaque étape, essayez la substitution directe, puis la factorisation des formes 0/0 et la leçon sur le théorème des gendarmes. Quand vous serez prêt pour les limites quand x\to\infty, passez aux exercices sur les limites à l'infini.