Integral de x² eˣ: fórmula, pasos y ejemplos
La integral de x² eˣ es (x² − 2x + 2)eˣ + C. Integración por partes dos veces, el método tabular, la comprobación, una gráfica y el patrón de xⁿ eˣ.
Productos e integración por partes Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- (x^2 - 2x + 2)e^x + C
- Método
- Integración por partes dos veces, o el método tabular
- De 0 a 1
- e - 2 \approx 0.718
- Con e^(−x), de 0 a ∞
- \int_0^\infty x^2e^{-x}\,dx = 2
- Patrón
- \int x^3e^x\,dx = (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C
En esta página
La integral de x^2e^x es (x^2 - 2x + 2)e^x + C. Requiere integración por partes dos veces, y es el ejemplo clásico del método tabular.
Gráfica de x² eˣ y su antiderivada
Cómo integrar x² eˣ paso a paso
Usa la integración por partes, \int u\,dv = uv - \int v\,du, con la potencia de x como u cada vez.
- Primera vuelta. u = x^2, dv = e^x\,dx, así que du = 2x\,dx y v = e^x: \int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx
- Segunda vuelta. Ya sabes que \int xe^x\,dx = (x-1)e^x por la integral de x eˣ. Si no, usa otra vez u = x, dv = e^x\,dx.
- Junta todo. x^2e^x - 2(x - 1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C
El atajo tabular
Cuando un factor se anula al derivarlo varias veces y el otro es fácil de integrar una y otra vez, monta una tabla. Deriva x^2 en la columna izquierda, integra e^x en la derecha y añade signos alternos:
| Signo | Derivar | Integrar |
|---|---|---|
| + | x^2 | e^x |
| - | 2x | e^x |
| + | 2 | e^x |
| 0 | e^x |
Multiplica cada entrada de la izquierda por la entrada de la derecha de la fila siguiente, con el signo de la fila de la izquierda:
La lección de partes repetidas y LIATE practica este método.
Comprobación derivando
Todo se cancela menos x^2. Una buena forma de recordar el resultado: el polinomio p(x) = x^2 - 2x + 2 cumple p + p' = x^2.
Integrales definidas
De 0 a 1:
De −∞ a 0: cuando x \to -\infty, (x^2 - 2x + 2)e^x \to 0, así que la integral vale 2 - 0 = 2.
Con una exponencial decreciente. \int x^2e^{-x}\,dx = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C, así que
Es un caso del resultado de la función Gamma \int_0^\infty x^ne^{-x}\,dx = n!. Consulta las integrales impropias para ver por qué el límite en el infinito es 0.
El patrón de xⁿ eˣ
Cada potencia extra de x añade una fila a la tabla:
| Integral | Resultado |
|---|---|
| \int e^x\,dx | e^x + C |
| \int xe^x\,dx | (x - 1)e^x + C |
| \int x^2e^x\,dx | (x^2 - 2x + 2)e^x + C |
| \int x^3e^x\,dx | (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C |
El polinomio es x^n menos su derivada más su segunda derivada, y así sucesivamente, con signos alternos.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una exponencial más rápida. \int x^2e^{2x}\,dx. En el método tabular la columna derecha es e^{2x}, \frac{1}{2}e^{2x}, \frac{1}{4}e^{2x}, \frac{1}{8}e^{2x}:
Ejemplo 2: un polinomio de segundo grado. \int(x^2 + 1)e^x\,dx. Aquí p = x^2 + 1, y el patrón da (p - p' + p'')e^x = (x^2 + 1 - 2x + 2)e^x = (x^2 - 2x + 3)e^x + C.
Ejemplo 3: primero un cambio de variable. \int x^3e^{x^2}\,dx. Sea w = x^2, dw = 2x\,dx, así que la integral es \frac{1}{2}\int we^w\,dw = \frac{1}{2}(x^2 - 1)e^{x^2} + C.
Errores comunes
- Pararse tras una vuelta. x^2e^x - 2\int xe^x\,dx todavía contiene una integral.
- Perder el factor 2. La primera vuelta saca 2x, y el 2 multiplica todo el segundo resultado.
- Signos equivocados en la tabla. Los signos alternan +, -, + empezando por la fila de arriba.
- Elegir u = e^x. La potencia de x sube en lugar de bajar.
Más práctica: los ejercicios de integración por partes.
Practícalo ahora
Partes repetidas y LIATE
Resuelve problemas reales de este tema con corrección al instante, pistas y una solución paso a paso para cada respuesta. Gratis y sin registro para empezar.
Practicar esta lección