Integral de x eˣ: fórmula, pasos y ejemplos

La integral de xe^x es (x - 1)e^x + C. Es el primer ejemplo clásico de integración por partes: una potencia de x por una exponencial.

Gráfica de x eˣ y su antiderivada

Cómo integrar x eˣ paso a paso

La fórmula de la integración por partes es \int u\,dv = uv - \int v\,du.

1. Elige las partes. Sea u = x y dv = e^x\,dx.
2. Halla du y v. du = dx y v = e^x.
3. Aplica la fórmula. \int xe^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx
4. Termina la integral fácil. \int e^x\,dx = e^x, así que \int xe^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C

¿Por qué u = x? El objetivo es que la integral que queda sea más sencilla. Al derivar x se obtiene 1, así que la x desaparece tras un paso. La regla LIATE (logarítmicas, inversas trigonométricas, algebraicas, trigonométricas, exponenciales) dice lo mismo: las algebraicas van antes que las exponenciales, así que x es u.

¿Y si eliges al revés? Con u = e^x y dv = x\,dx obtienes \frac{x^2}{2}e^x - \int\frac{x^2}{2}e^x\,dx. La potencia de x ha subido, así que el problema ha empeorado.

Comprobación derivando

La regla del producto devuelve exactamente el integrando. La página de la derivada de x eˣ muestra el sentido directo.

Integrales definidas

De 0 a 1:

De −∞ a 0: cuando x \to -\infty, (x-1)e^x \to 0 porque gana la exponencial. Así que

El resultado es negativo porque xe^x < 0 para x < 0.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: una exponencial más rápida. \int xe^{2x}\,dx. Sea u = x, dv = e^{2x}\,dx, de modo que v = \frac{1}{2}e^{2x}:

En general, \int xe^{kx}\,dx = \left(\frac{x}{k} - \frac{1}{k^2}\right)e^{kx} + C.

Ejemplo 2: decrecimiento. Con k = -1, la fórmula general da \int xe^{-x}\,dx = (-x - 1)e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C. De 0 a \infty vale 0 - (-1) = 1. Es el tiempo de espera medio de la distribución exponencial de parámetro 1.

Ejemplo 3: un factor lineal. \int(3x + 2)e^x\,dx. Con u = 3x + 2, du = 3\,dx:

Ejemplo 4: una potencia mayor. Para x^2e^x, aplica partes dos veces. El resultado es (x^2 - 2x + 2)e^x + C, como se muestra en la página de la integral de x² eˣ.

Errores comunes

1. Integrar factor a factor. \int xe^x\,dx \ne \frac{x^2}{2}e^x. La integral de un producto no es el producto de las integrales.
2. Elegir u = e^x. La integral que queda contiene entonces x^2, que es más difícil.
3. Un error de signo en el último paso. Es xe^x - \int e^x\,dx, así que el término e^x se resta. Compruébalo derivando.
4. Olvidar el \frac{1}{k} con e^{kx}. Con e^{2x}, v = \frac{1}{2}e^{2x}, no e^{2x}.

Para practicar más, consulta la guía de integración por partes y los ejercicios de integración por partes.