Integral de x² eˣ: fórmula, passo a passo e exemplos

A integral de x^2e^x é (x^2 - 2x + 2)e^x + C. Ela exige integração por partes duas vezes e é o exemplo padrão do método tabular.

Gráfico de x² eˣ e de sua primitiva

Como integrar x² eˣ passo a passo

Use a integração por partes, \int u\,dv = uv - \int v\,du, com a potência de x como u em cada passada.

1. Primeira passada. u = x^2, dv = e^x\,dx, então du = 2x\,dx e v = e^x: \int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx
2. Segunda passada. Você já sabe que \int xe^x\,dx = (x-1)e^x, pela integral de x eˣ. Se não souber, use u = x, dv = e^x\,dx de novo.
3. Junte. x^2e^x - 2(x - 1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C

O atalho tabular

Quando um fator chega a zero ao ser derivado e o outro é fácil de integrar repetidas vezes, monte uma tabela. Derive x^2 na coluna da esquerda, integre e^x na da direita e coloque sinais alternados:

Multiplique cada entrada da esquerda pela entrada da direita uma linha abaixo, usando o sinal da linha da esquerda:

A lição de partes repetidas e LIATE pratica esse método.

Verificação por derivação

Tudo se cancela, exceto x^2. Um bom jeito de lembrar a resposta: o polinômio p(x) = x^2 - 2x + 2 satisfaz p + p' = x^2.

Integrais definidas

De 0 a 1:

De −∞ a 0: quando x \to -\infty, (x^2 - 2x + 2)e^x \to 0, então a integral é 2 - 0 = 2.

Com uma exponencial decrescente. \int x^2e^{-x}\,dx = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C, então

Esse é um caso do resultado da função Gama, \int_0^\infty x^ne^{-x}\,dx = n!. Veja integrais impróprias para entender por que o limite no infinito é 0.

O padrão xⁿ eˣ

Cada potência a mais de x acrescenta uma linha à tabela:

O polinômio é x^n menos sua derivada, mais sua segunda derivada e assim por diante, com sinais alternados.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: uma exponencial mais rápida. \int x^2e^{2x}\,dx. No método tabular, a coluna da direita é e^{2x}, \frac{1}{2}e^{2x}, \frac{1}{4}e^{2x}, \frac{1}{8}e^{2x}:

Exemplo 2: um polinômio de grau 2. \int(x^2 + 1)e^x\,dx. Aqui p = x^2 + 1, e o padrão dá (p - p' + p'')e^x = (x^2 + 1 - 2x + 2)e^x = (x^2 - 2x + 3)e^x + C.

Exemplo 3: uma substituição antes. \int x^3e^{x^2}\,dx. Seja w = x^2, dw = 2x\,dx, então a integral é \frac{1}{2}\int we^w\,dw = \frac{1}{2}(x^2 - 1)e^{x^2} + C.

Erros comuns

1. Parar depois de uma passada. x^2e^x - 2\int xe^x\,dx ainda tem uma integral.
2. Perder o fator 2. A primeira passada traz 2x, e o 2 multiplica todo o segundo resultado.
3. Sinais errados na tabela. Os sinais alternam +, -, + a partir da primeira linha.
4. Escolher u = e^x. A potência de x sobe em vez de descer.

Mais prática: os exercícios de integração por partes.