Intégration par parties : exercices corrigés avec réponses

Ces exercices sur l'intégration par parties commencent par une seule intégration par parties et vont jusqu'aux parties répétées, à la méthode du tableau et aux intégrales qui reviennent sur elles-mêmes. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses sont données en premier pour vérifier rapidement, puis viennent les solutions détaillées.

La formule vient de la règle du produit :

Choisissez u et dv, trouvez du et v, puis appliquez la formule. Pour en savoir plus sur la formule, lisez la page sur l'intégration par parties.

Exercices

Une seule intégration par parties

1. \displaystyle\int x\,e^x\,dx
2. \displaystyle\int x\cos x\,dx
3. \displaystyle\int \ln x\,dx
4. \displaystyle\int x\ln x\,dx
5. \displaystyle\int x\sin(2x)\,dx
6. \displaystyle\int \arctan x\,dx

Parties répétées

7. \displaystyle\int x^2 e^x\,dx
8. \displaystyle\int x^2\cos x\,dx

Intégrales qui reviennent sur elles-mêmes

9. \displaystyle\int e^x\sin x\,dx
10. \displaystyle\int e^{2x}\cos x\,dx

Intégrales définies

11. \displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx
12. \displaystyle\int_1^{e} x\ln x\,dx

Réponses

Solutions détaillées

1. Posez u = x et dv = e^x\,dx, donc du = dx et v = e^x :

2. Posez u = x et dv = \cos x\,dx, donc v = \sin x :

3. Posez u = \ln x et dv = dx, donc du = \frac{1}{x}dx et v = x :

4. Les logarithmes viennent en premier dans LIATE, donc u = \ln x et dv = x\,dx, ce qui donne v = \frac{x^2}{2} :

5. Posez u = x et dv = \sin(2x)\,dx, donc v = -\frac{1}{2}\cos(2x) :

6. Posez u = \arctan x et dv = dx, donc du = \frac{1}{1+x^2}dx et v = x :

La dernière intégrale se calcule par changement de variable avec u = 1 + x^2, ce qui donne \frac{1}{2}\ln(1 + x^2).

7. Utilisez la méthode du tableau. Dérivées de x^2 : x^2, 2x, 2, 0. Primitives successives de e^x : e^x, e^x, e^x. Multipliez en diagonale avec les signes +, -, + :

8. Encore la méthode du tableau. Dérivées : x^2, 2x, 2, 0. Primitives successives de \cos x : \sin x, -\cos x, -\sin x. Avec les signes +, -, + :

9. Notez I l'intégrale. Avec u = \sin x et dv = e^x\,dx : I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx. Intégrez à nouveau par parties avec u = \cos x : \int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I. Donc :

10. Soit I = \int e^{2x}\cos x\,dx. Prenez u = e^{2x} les deux fois. D'abord, I = e^{2x}\sin x - 2\int e^{2x}\sin x\,dx. Ensuite, \int e^{2x}\sin x\,dx = -e^{2x}\cos x + 2I. En regroupant :

11. D'après l'exercice 1 :

12. D'après l'exercice 4, avec \ln e = 1 et \ln 1 = 0 :

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Choisir u à l'envers. Dans l'exercice 4, prendre u = x et dv = \ln x\,dx suppose de connaître déjà \int\ln x\,dx. Suivez LIATE.
• Erreurs de signe au second passage. Dans les exercices 7 et 8, le signe moins devant \int v\,du porte sur tout ce qui suit. La méthode du tableau aide à garder les bons signes.
• Inverser les rôles de u et dv en cours de boucle. Dans l'exercice 10, si vous prenez u = e^{2x} la première fois et u = \sin x la seconde, vous annulez la première étape et obtenez I = I.
• Oublier le \frac{1}{2} dans v. Quand dv = \sin(2x)\,dx, v = -\frac{1}{2}\cos(2x), et non -\cos(2x).

Continuer à s'entraîner

Pour des exercices en nombre illimité avec de nouvelles valeurs et une correction immédiate, essayez la leçon sur l'intégration par parties et la leçon sur les parties répétées et LIATE. Pour plus d'exemples, consultez l'intégrale de x e^x, l'intégrale de ln x et le guide de l'intégration par parties. Essayez ensuite les exercices sur les intégrales trigonométriques.